P1066 2^k进制数 NOIP 2006 提高组 第四题

洛谷蓝题（点击跳转）

提高组 第四题

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<W< span>≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

 

输入输出格式

输入格式：

输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

输出格式：

 输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

输入输出样例

输入样例#1：

3 7

输出样例#1：

36

 代码有注解，直接看代码吧：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;//比较主要是方便求和
inline bool comp(string a ,string b)
{
    if( a.size() < b.size() )
        return 0;
    if( a.size() > b.size() )
        return 1;
    for( int i = a.size() - 1 ; i >= 0 ; i-- )
    {
        if( a[i] < b[i] )
            return 0;
        if( a[i] > b[i] )
            return 1;
    }
    return 1;
}
//求两个数的和
inline string sum( string a , string b )
{
    if( comp( a , b ) == 0 )
        swap( a , b );
    string c = "";
    char x[2] = "";
    bool n = 0;
    int bpt = b.size() - 1;
    for( int i = a.size() - 1 ; i >= 0 ; i-- )
    {    
        if( b[bpt] < '0' || b[bpt] > '9' )
            b[bpt] = '0';
        x[0] = a[i] + b[bpt] - '0';
        if( n == 1 )
        {
            x[0]++;
            n = 0;
        }
        if( x[0] > '9' )
        {
            x[0] -= 10;
            n = 1;
        }
        c.insert( 0 , x );
        bpt--;
        if( bpt < 0 )
        {
            bpt = 0;
            b[0] = '0';
        }
    }
    if( n == 1 )
        c.insert( 0 , "1" );
    while( c[0] == '0' )
        c.erase( 0 , 1 );
    if( c.size() == 0 )
        c.insert( 0 , "0" );
    return c;
}
//求两个数的差（保证结果为正数）
string dif( string a , string b )
{
     string c = "";
     char x[2] = "";
     bool n = 0;
     int bpt = b.size() - 1;
     for( int i = a.size() - 1 ; i >= 0 ; i-- )
     {    
          if( b[bpt] < '0' || b[bpt] > '9' )
                b[bpt] = '0';
          x[0] = a[i] - b[bpt] + '0';
          if( n == 1 )
          {
                x[0]--;
                n = 0;
          }
          if( x[0] < '0' )
          {
                x[0] += 10;
                n = 1;
          }
          c.insert( 0 , x );
          bpt--;
          if( bpt < 0 )
          {
                bpt = 0;
                b[0] = '0';
          }
     }
     while( c[0] == '0' )
          c.erase( 0 , 1 );
     if( c.size() == 0 )
          c.insert( 0 , "0" );
     return c;
}
//求高精度数与整型数的积
string mul( string a , int b )
{
    string c = "";
    char x[2] = "";
    int n = 0 , y;
    for( int i = a.size() - 1 ; i >= 0 ; i-- )
    {
        y = 0;
        if( n > 0 )
            y = n;
        n = ( a[i] - '0' ) * b + y;
        x[0] = n % 10 + '0';
        n /= 10;
        if( x[0] > '9' )
        {
            x[0] -= 10;
            n++;
        }
        c.insert( 0 , x );
    }
    while( n > 0 )
    {
        x[0] = n % 10 + '0';
        n /= 10;
        c.insert( 0 , x );
    }
    while( c[0] == '0' )
        c.erase( 0 , 1 );
    if( c.size() == 0 )
        c.insert( 0 , "0" );
    return c;
}
//求高精度数与整型数的商
string div( string a , int b )
{
    string c = "";
    char x[2] = "";
    int n = 0 , y;
    for( int i = 0 ; i < a.size() ; i++ )
    {
        n *= 10;
        n += a[i] - '0';
        x[0] = n / b + '0';
        n %= b;
        c.insert( c.size() , x );
    }
    while( n > 0 )
    {
        x[0] = n % 10 + '0';
        n /= 10;
        c.insert( 0 , x );
    }
    while( c[0] == '0' )
        c.erase( 0 , 1 );
    if( c.size() == 0 )
        c.insert( 0 , "0" );
    return c;
}
//把整型数转化成高精度数
string change( int num )
{
    if( num == 0 )
        return "0";
    string a = "";
    char c[2] = "";
    while( num > 0 )
    {
        c[0] = num % 10 + '0';
        num /= 10;
        a.insert( 0 , c );
    }
    return a;
}
//覆盖（即用一个高精度数覆盖另一个高精度数）
void instead( string &s , string s0 )
{
    s.erase( 0 , s.size() );
    s.insert( 0 , s0 );
}

string c[50000];
const int power[10] = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 };//打表计算2^n

int main()
{
    int k , w;
    cin >> k >> w;
    c[2] = change( ( power[k] - 1 ) * ( power[k] - 2 ) / 2 );
    string ans = c[2];
    int most = min( w / k + ( w % k == 0 ? 0 : 1 ) , power[k] - 1 );
    //most存储max（max不能定义）
    for( int i = 3 ; i <= most ; i++ )
    {
        if( ( power[k] - i ) % i == 0 )
            c[i].insert( 0 , mul( c[i - 1] , ( power[k] - i ) / i ) );
        else
            c[i].insert( 0 , div( mul( c[i - 1] , power[k] - i ) , i ) );
        ans = sum( ans , c[i] );
    }
    instead( c[most - 1] , "1" );
    int most2 = min( power[w % k] - 1 , power[k] - most - 1 );
    if( power[k] - most <= power[w % k] - 1 || most2 <= 0 )
    {
        cout << ans;
        return 0;
    }
    //特殊情况，如3 17，最大234567，上限6位3起，这时会误判
    ans = dif( ans , "1" );//首位为max-1时要减掉
    for( int i = most ; i < power[k] - 1 - most2 ; i++ )
    {
        if( i % ( i - most + 1 ) == 0 )
            instead( c[i] , mul( c[i - 1] , i / ( i - most + 1 ) ) );
        else
            instead( c[i] , div( mul( c[i - 1] , i ) , i - most + 1 ) );
        ans = dif( ans , c[i] );
    }
    cout << ans;
}