一、红黑树插入节点
1、时间复杂度：向一颗含有n个节点的红黑树中插入一个新节点的操作可在O（lgn）时间内完成。
2、步骤
1）、将节点z插入树T内，就好像T是一颗普通的二叉查找树一样，然后将z着为红色。
2）、为保证红黑性质可以得到保持，调用一个辅助程序RB-INSERT-FIXUP
3、RB-Insert伪代码
1 RB-INSERT(T, z) 2 y ← nil[T] // 新建节点“y”，将y设为空节点。 3 x ← root[T] // 设“红黑树T”的根节点为“x” 4 while x ≠ nil[T] // 找出要插入的节点“z”在二叉树T中的位置“y” 5 do y ← x 6 if key[z] < key[x] 7 then x ← left[x] 8 else x ← right[x] 9 p[z] ← y // 设置 “z的父亲” 为 “y” 10 if y = nil[T] 11 then root[T] ← z // 情况1：若y是空节点，则将z设为根 12 else if key[z] < key[y] 13 then left[y] ← z // 情况2：若“z所包含的值” < “y所包含的值”，则将z设为“y的左孩子” 14 else right[y] ← z // 情况3：(“z所包含的值” >= “y所包含的值”)将z设为“y的右孩子” 15 left[z] ← nil[T] // z的左孩子设为空 16 right[z] ← nil[T] // z的右孩子设为空。至此，已经完成将“节点z插入到二叉树”中了。 17 color[z] ← RED // 将z着色为“红色” 18 RB-INSERT-FIXUP(T, z) // 通过RB-INSERT-FIXUP对红黑树的节点进行颜色修改以及旋转，让树T仍然是一颗红黑树
4、RB-INSERT-FIXUP
1 RB-INSERT-FIXUP(T, z) 2 while color[p[z]] = RED // 若“当前节点(z)的父节点是红色”，则进行以下处理。 3 do if p[z] = left[p[p[z]]] // 若“z的父节点”是“z的祖父节点的左孩子”，则进行以下处理。 4 then y ← right[p[p[z]]] // 将y设置为“z的叔叔节点(z的祖父节点的右孩子)” 5 if color[y] = RED // Case 1条件：叔叔是红色 6 then color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 1 // (01) 将“父节点”设为黑色。 7 color[y] ← BLACK ▹ Case 1 // (02) 将“叔叔节点”设为黑色。 8 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 1 // (03) 将“祖父节点”设为“红色”。 9 z ← p[p[z]] ▹ Case 1 // (04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点) 10 else if z = right[p[z]] // Case 2条件：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子 11 then z ← p[z] ▹ Case 2 // (01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。 12 LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2 // (02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。 13 color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 3 // Case 3条件：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子。(01) 将“父节点”设为“黑色”。 14 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 3 // (02) 将“祖父节点”设为“红色”。 15 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) ▹ Case 3 // (03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。 16 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged) // 若“z的父节点”是“z的祖父节点的右孩子”，将上面的操作中“right”和“left”交换位置，然后依次执行。 17 color[root[T]] ← BLACK
根据被插入节点的父节点的情况，可以将"当节点z被着色为红色节点，并插入二叉树"划分为三种情况来处理。
1）被插入的节点是根节点。我们只需要直接把此节点涂为黑色。
2）被插入的节点的父节点是黑色。什么也不需要做。节点被插入后，仍然是红黑树。
3）被插入的节点的父节点是红色。 那么，该情况与红黑树的“特性(5)”相冲突。这种情况下，被插入节点是一定存在非空祖父节点的；进一步的讲，被插入节点也一定存在叔叔节点(即使叔叔节点为空，我们也视之为存在，空节点本身就是黑色节点)。理解这点之后，我们依据"叔叔节点的情况"，将这种情况进一步划分为3种情况(Case)。
| 现象说明 | 处理策略 | |
| Case 1 | 当前节点的父节点是红色，且当前节点的祖父节点的另一个子节点（叔叔节点）也是红色。 |
(01) 将“父节点”设为黑色。 |
| Case 2 | 当前节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的右孩子 |
(01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。 |
| Case 3 | 当前节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的左孩子 |
(01) 将“父节点”设为“黑色”。 |
上面三种情况(Case)处理问题的核心思路都是：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。下面对它们详细进行介绍。
1. (Case 1)叔叔是红色
1.1 现象说明
当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，且当前节点的祖父节点的另一个子节点（叔叔节点）也是红色。
1.2 处理策略
(01) 将“父节点”设为黑色。
(02) 将“叔叔节点”设为黑色。
(03) 将“祖父节点”设为“红色”。
(04) 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)；即，之后继续对“当前节点”进行操作。
下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)
“当前节点”和“父节点”都是红色，违背“特性(4)”。所以，将“父节点”设置“黑色”以解决这个问题。
但是，将“父节点”由“红色”变成“黑色”之后，违背了“特性(5)”：因为，包含“父节点”的分支的黑色节点的总数增加了1。 解决这个问题的办法是：将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”。关于这里，说明几点：第一，为什么“祖父节点”之前是黑色？这个应该很容易想明白，因为在变换操作之前，该树是红黑树，“父节点”是红色，那么“祖父节点”一定是黑色。 第二，为什么将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；能解决“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题。这个道理也很简单。“包含‘父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1” 同时也意味着 “包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”，既然这样，我们通过将“祖父节点”由“黑色”变成“红色”以解决“包含‘祖父节点’的分支的黑色节点的总数增加了1”的问题； 但是，这样处理之后又会引起另一个问题“包含‘叔叔’节点的分支的黑色节点的总数减少了1”，现在我们已知“叔叔节点”是“红色”，将“叔叔节点”设为“黑色”就能解决这个问题。 所以，将“祖父节点”由“黑色”变成红色，同时，将“叔叔节点”由“红色”变成“黑色”；就解决了该问题。
按照上面的步骤处理之后：当前节点、父节点、叔叔节点之间都不会违背红黑树特性，但祖父节点却不一定。若此时，祖父节点是根节点，直接将祖父节点设为“黑色”，那就完全解决这个问题了；若祖父节点不是根节点，那我们需要将“祖父节点”设为“新的当前节点”，接着对“新的当前节点”进行分析。
1.3 示意图
2. (Case 2)叔叔是黑色，且当前节点是右孩子
2.1 现象说明
当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的右孩子
2.2 处理策略
(01) 将“父节点”作为“新的当前节点”。
(02) 以“新的当前节点”为支点进行左旋。
下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)
首先，将“父节点”作为“新的当前节点”；接着，以“新的当前节点”为支点进行左旋。 为了便于理解，我们先说明第(02)步，再说明第(01)步；为了便于说明，我们设置“父节点”的代号为F(Father)，“当前节点”的代号为S(Son)。
为什么要“以F为支点进行左旋”呢？根据已知条件可知：S是F的右孩子。而之前我们说过，我们处理红黑树的核心思想：将红色的节点移到根节点；然后，将根节点设为黑色。既然是“将红色的节点移到根节点”，那就是说要不断的将破坏红黑树特性的红色节点上移(即向根方向移动)。 而S又是一个右孩子，因此，我们可以通过“左旋”来将S上移！
按照上面的步骤(以F为支点进行左旋)处理之后：若S变成了根节点，那么直接将其设为“黑色”，就完全解决问题了；若S不是根节点，那我们需要执行步骤(01)，即“将F设为‘新的当前节点’”。那为什么不继续以S为新的当前节点继续处理，而需要以F为新的当前节点来进行处理呢？这是因为“左旋”之后，F变成了S的“子节点”，即S变成了F的父节点；而我们处理问题的时候，需要从下至上(由叶到根)方向进行处理；也就是说，必须先解决“孩子”的问题，再解决“父亲”的问题；所以，我们执行步骤(01)：将“父节点”作为“新的当前节点”。
2.2 示意图
3. (Case 3)叔叔是黑色，且当前节点是左孩子
3.1 现象说明
当前节点(即，被插入节点)的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的左孩子
3.2 处理策略
(01) 将“父节点”设为“黑色”。
(02) 将“祖父节点”设为“红色”。
(03) 以“祖父节点”为支点进行右旋。
下面谈谈为什么要这样处理。(建议理解的时候，通过下面的图进行对比)
为了便于说明，我们设置“当前节点”为S(Original Son)，“兄弟节点”为B(Brother)，“叔叔节点”为U(Uncle)，“父节点”为F(Father)，祖父节点为G(Grand-Father)。
S和F都是红色，违背了红黑树的“特性(4)”，我们可以将F由“红色”变为“黑色”，就解决了“违背‘特性(4)’”的问题；但却引起了其它问题：违背特性(5)，因为将F由红色改为黑色之后，所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1。那我们如何解决“所有经过F的分支的黑色节点的个数增加了1”的问题呢？ 我们可以通过“将G由黑色变成红色”，同时“以G为支点进行右旋”来解决。
2.3 示意图
提示：上面的进行Case 3处理之后，再将节点"120"当作当前节点，就变成了Case 2的情况。