求逆元的方法

乘法逆元的定义

　　若ax≡1%p, 则称a关于模p的乘法逆元为x。
　　当a与p互质时，a关于模p的乘法逆元有解。如果不互质，则无解。如果p为质数，则从1到p-1的任意数都与p互质，即在1到p-1之间都恰好有一个关于模p的乘法逆元。且1到p-1中的所有数的逆元对应1到p-1中的所有数，既是单射也是满射。

逆元的求解

1.费马小定理

　　感觉很顺手的求法

　　当n为质数时，已知n^(p−1)≡1%p(费马小定理)
　　那么inv[n]=n^(p−2)%p.

　　时间复杂度为O(logn)（快速幂）.

LL quick(LL n,LL p)
{
    LL res=1,ex=p-2;
    for(LL i=ex;i;i>>=1,n=n*n%p)
    {
        if(i&1) res=res*n%p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL n;
    while(cin>>n>>p)
    {
        cout<<quick(n,p)<<endl;
    }
}

 2.扩展欧几里得

　　这个方法没啥好讲，复杂度同样O(logn)

void exgcd(LL a,LL b,LL &g,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)  g=a,x=1,y=0;
    else    exgcd(b,a%b,g,y,x),y-=x*(a/b);
}
LL inv(LL num)
{
    LL g,x,y;
    exgcd(num,MOD,g,x,y);
    return (x%MOD+MOD)%MOD;
}

emmm，先这样吧，还有好多好多，慢慢来吧- -