二分图的一些总结

二分图最大匹配的匈牙利算法
二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。
最大匹配： 图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配： 如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
最小路径覆盖：
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i',如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。
最大独立集问题：
在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值．

如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．

最大独立集点数 = N - 最大匹配数

 1 #define N 202
 2 int useif[N];   //记录y中节点是否使用
 3 int link[N];   //记录当前与y节点相连的x的节点
 4 int mat[N][N]; //记录连接x和y的边，如果i和j之间有边则为1，否则为0
 5 int gn,gm;    //二分图中x和y中点的数目
 6 int can(int t)
 7 {
 8     int i;
 9     for(i=1;i<=gm;i++)
10     {
11        if(useif[i]==0 && mat[t][i])
12        {
13            useif[i]=1;
14            if(link[i]==-1 || can(link[i]))
15            {
16               link[i]=t;
17               return 1;
18            }
19        }
20     }
21     return 0;
22 }
23 int MaxMatch()
24  
25 {
26     int i,num;
27     num=0;
28     memset(link,0xff,sizeof(link));
29     for(i=1;i<=gn;i++)
30     {
31        memset(useif,0,sizeof(useif));
32        if(can(i)) num++;
33     }
34     return num;
35 }

 算法的基本思想：

算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.

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