给你出道题---最佳组合问题

给定N组数字，每组数字组内数字之间互不相同，组间数字可能相同。这些数字都是正整数，现在从这N组数字中选择尽量多的数字，使得选出来的数字满足以下条件：

• 每组只选出一个数字
• 选出来的数字互不相同

要求：使选出来的数字之和尽量大。

暴力想法显而易见，但是有没有更完美的方法呢？

import numpy as np


def generate_problem():
    group_count = np.random.randint(5, 6)
    groups = []
    for i in range(group_count):
        group_size = np.random.randint(2, 5)
        groups.append(sorted(list(set(np.random.randint(1, 10, group_size))), reverse=True))
    return groups


def brute_force(groups):
    groups = [i for i in groups if i]
    if not groups:
        return 0
    max_value = max(i[0] for i in groups)
    big_groups = [i for i in groups if i[0] == max_value]
    ans = 0
    for big in big_groups:
        next_groups = [j[1:] if j[0] == max_value else j for j in groups if j != big]
        s = brute_force(next_groups) + max_value
        ans = max(ans, s)
    return ans


def main():
    for i in range(100):
        p = generate_problem()
        s = brute_force(p)
        print(p)
        print(s)
        print('=' * 10)


main()

这个问题等价于：
将全部数字合并，去重，排序得到一个数组A，下面构建一个矩阵，数组A为列名，数组每行为每组的数字，如果存在则用此值代替，如果不存在，用0代替。这样就得到一个稀疏矩阵。
此题转化为：在这个矩阵中寻找最优组合，要求每行、每列只能选择一个数字，选定若干数字使最终结果之和最大。

此问题其实是二分图。
将全部数字合并，去重之后放在右面，将全部数组放在左边。如果左边的数组X包含右边的数字Y，则在它们之间连一条线。左边的结点和右边的结点都只能使用一次，求最大匹配（边权之和最大）。

在本题中，最终的二分图模型左右结点个数可能不等，所以无法找到完美匹配。

留一道更难的题：
给定一个$N imes M$的矩阵，每行每列最多只能选择一个元素，最终选出来的元素不可重复，要使选出来的数字之和尽量大。