编程之美---找符合条件的整数

题目：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0.

解法：原问题转化为求一个最小的正整数X，使得X的十进制表示形式里只含有1和0，并且X被N整除。于是乎就成了遍历二进制整数一样遍历X的各个取值，但是如果X的最终结果又K位，则要循环搜索2^K 次。因此，可以建立一个长度为N的“余数信息数组”，这个数组的第i位保留已经出现的最小的模N为i的X。用BigInt[i]可能很大，只须记下1的位置即可。

for(i=0;i<N;i++)
    BigInt[i].clear();
BigInt[1].push_back(0);

int NoUpdate = 0;
//i 表示当前最高位是 10^i 次方   j表示 10^i % N的值 100 % N = ((10 % N) * 10) % N 注意 j避免表示大数的方法
for(i=1,j=10%N; ; i++,j=(j*10)%N) 
{
    bool flag = false;
    if(BigInt[j].size()==0)
    {
        flag=true;
        //BigInt[j]=10^i,(10^i %N =j)
        BigInt[j].clear();
        BigInt[j].push_back(i);
    }
    for(k=1;k<N;k++)
    {
        if((BigInt[k].size()>0)&&(i>BigInt[k][BigInt[k].size()-1])&&(BigInt[(k+j)%N].size()==0))
        {
            //(i>BigInt[k][BigInt[k].size()-1])说明当前的余数不是因为在i循环时由早些的k循环处理中产生的
            //BigInt[(k+j)%N]=10^i+BigInt[k]
            flag=true;
            BigInt[(k+j)%N] = BigInt[k];
            BigInt[(k+j)%N].push_back(i);
        }
    }
    if(flag==false) NoUpdate++;
    else NoUpdate=0;
    //如果经过一个循环节都没能对BigInt进行更新，就是无解，跳出。或者BigInt[0]!=NULL,已经找到解，也跳出
    if(NoUpdate==N||BigInt[0].size()>0)
        break;
}
if(BigInt[0].size()==0)
{
    // M not exist;
}
else 
{
    //Find N*M=BigInt[0]
}

网上一个证明这M一定存在的思想：

解决这个问题首先考虑对于任意的N，是否这样的M一定存在。可以证明，M是一定存在的，而且不唯一。
简单证明：因为

 

这是一个无穷数列，但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数，且s<t，有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有：
，所以