一个差生解1642Fibonacci 第 n 项

 

1642： 【例 2】Fibonacci 第 n 项

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【题目描述】
大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2 。

现在问题很简单，输入 nn 和 mm，求 fnmodmfnmodm。

【输入】
输入 n,mn,m。

【输出】
输出 fnmodmfnmodm。

【输入样例】
5 1000
【输出样例】
5
【提示】
数据范围与提示：

对于 100% 的数据， 1≤n≤2×109,1≤m≤109+101≤n≤2×109,1≤m≤109+10。

 由于之前也做过几次Fibonacci数列问题，随手翻了下，看到了一本通网站1642:Fibonacci数列第n项。起初并没有注意这个题是在哪个章节，但看了一下题目，感觉不太难，然后就开始做了。上手后，再细看条件，“对于 100% 的数据， 1≤n≤2×10^9,1≤m≤10^9+10”,这很是要命啊，估计能做到O(n)的时间复杂度都怕是没戏。于是，得思考更高级的时间复杂度算法，初步想到的是O(logn),二分法就是最常见的O(logn)时间复杂度了。那我的想法就集中在f(n)与f(n/2)的关系上了。由于这个题边界条件是两个，f(1)=f(2)=1,估计要直接用f(n/2)表示f(n)是有难度的，还有n可能是一个奇数，也可能是偶数，所以我思考的方向是用两项表示两项：比如用f(3)、f(4)表示f(7)、f(8),再用f(7)、f(8)表示f（15）、f(16)等。为了方便验算，我先求了前面的部分项：f(3)=2,f(4)=3,f(5)=5,f(6)=8,f(7)=13,f(8)=21,f(9)=34,f(10)=55。f(3)=f(2)+f(1),f(4)=f(3)+f(2)=2f(2)+f(1),到这看不出什么特殊性，继续...,f(5)=f(4)+f(3)=2f(3)+f(2), f(6)=f(5)+f(4)=3f(3)+2f(2),有点眉目了，还不明显，再算：f(7)=3f(4)+2f(3),f(8)=3f(5)+2f(4),f(9)=3f(6)+2f(5),f(10)=3f(7)+2f(6),似乎看到f(n+3)=3f(n)+2f(n-1),但不是我们的目标，继续向下：f(8)=5f(4)+3f(3),f(9)=5f(5)+3f(4),f(10)=5f(6)+3f(5)=8f(5)+5f(4),这时可以看到“系数似乎也是数列是的项”，如果是这样，那f(7)=f(4)*f(4)+f(3)*f(3), f(9)=f(4)*f(4)+f(5)*f(5)，再验证，没错。偶数呢？f(8)=f(5)*f(4)+f(3)*f(4)=(f(4)+f(3))*f(4)+f(4)*f(3)=f(4)*f(4)+2*f(4)*f(3),f(10)=f(5)*f(5)*2*f(5)*f(4),由此推广可知： f(2n+1)=f(n+1)*f(n+1)+f(n)*f(n),f(2n)=f(n)*f(n）+2*f(n)*f(n-1),二分法基本实现，至于证明，我就不做了，直接上网站提交就知道对大数是否成立了。

    不过，还有一个问题，最初我是直接用递归写的程序，但发现会超时，我做了一个跟踪，发现n到1w的时候运算次数就400W次了，所以不能用，于是我想到了记忆递归，直接开个大数组，n的取值是2X10^9,我开了数组a[2e9],编译就报错，开太大了，只好调到a[2e7],部分记忆，还好，能过。

#include<iostream>
using namespace std;
long long const mxn=20000011;
long long n,m,a[mxn];
long long fb(long long n)
{
    if(n==1||n==2)return 1;
    if(n>=mxn){
        long long t1=fb(n/2)%m,t2;
        if(n%2)t2=fb(n/2+1)%m,t1=(t1*t1+t2*t2)%m;
        else t2=fb(n/2-1),t1=(t1*t1+2*t1*t2)%m;
        return t1;
    }
    else
    {
        if(a[n]==0)
        {
            long long t1=fb(n/2)%m,t2;
            if(n%2)t2=fb(n/2+1)%m,a[n]=(t1*t1+t2*t2)%m;
            else t2=fb(n/2-1),a[n]=(t1*t1+2*t1*t2)%m;
        }
        return a[n];
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    cout<<fb(n);
    return 0;
 } 

 提交到网站，嘿嘿，过了！

如有不妥，请指教。

后来才看了这一部分属于矩阵，然后拿书出来看了原书解答，真心不懂，需要花点时间去啃这块硬骨头了。