最小二乘拟合

在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

 

一、最小二乘法原理

 

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式

y＝f（x；c₁，c₂，……c_m）           （0-0-1）

给出，其中c₁，c₂，……c_m是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（x_i，y_i）i＝1，2，……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组

                    y_i＝f（x；c₁，c₂，……c_m）                    （0-0-2）

式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然N<m时，参数不能确定。

在N>m的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值y_i围绕着期望值 <f（x；c₁，c₂，……c_m）> 摆动，其分布为正态分布，则y_i的概率密度为

,

式中 是分布的标准误差。为简便起见，下面用C代表（c₁，c₂，……c_m）。考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y₁，y₂，……c_N）的似然函数

.

取似然函数L最大来估计参数C，应使

                                 （0-0-3）

取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子 ，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值y_i的偏差的加权平方和为最小。

根据式（0-0-3）的要求，应有

从而得到方程组

          （0-0-4）

解方程组（0-0-4），即得m个参数的估计值 ，从而得到拟合的曲线方程 。

然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若y_i服从正态分布，可引入拟合的x²量，

                            （0-0-5）

把参数估计 代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x²值

                      （0-0-6）

可以证明， 服从自由度v＝N-m的x²分布，由此可对拟合结果作x²检验。

由x²分布得知，随机变量 的期望值为N-m。如果由式（0-0-6）计算出 接近N-m（例如 ），则认为拟合结果是可接受的；如果 ，则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。

 

二、直线的最小二乘拟合

 

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系由直线方程

y＝a₀+a₁x                         (0-0-7)

给出。式中有两个待定参数，a₀代表截距，a₁代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（x_i，y_i），i＝1，2……，N，x_i值被认为是准确的，所有的误差只联系着y_i。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。

 

1．直线参数的估计

前面指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值y_i的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（0-0-3）可使

                           （0-0-8）

最小即对参数a（代表a₀，a₁）最佳估计，要求观测值y_i的偏差的平方和为最小。

根据式（0-0-8）的要求，应有

整理后得到正规方程组

解正规方程组便可求得直线参数a₀和a₁的最佳估计值 和 。即

           （0-0-10）

            （0-0-11）

2．拟合结果的偏差

由于直线参数的估计值 和 是根据有误差的观测数据点计算出来的，它们不可避免地存在着偏差。同时，各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的，观测值y_i与对应于拟合直线上的 这之间也就有偏差。

首先讨论测量值y_i的标准差S。考虑式（0-0-6），因等精度测量值y_i所有的 都相同，可用y_i的标准偏差S来估计，故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为

            （0-0-12）

已知测量值服从正态分布时， 服从自由度v＝N-2的x²分布，其期望值

由此可得y_i的标准偏差

                         （0-0-13）

这个表示式不难理解，它与贝塞尔公式是一致的，只不过这里计算S时受到两参数 和 估计式的约束，故自由度变为N-2罢了。

式（0-0-13）所表示的S值又称为拟合直线的标准偏差，它是检验拟合结果是否有效的重要标志。如果xy平面上作两条与拟合直线平行的直线

如图0-0-1所示，则全部观测数据点（x_i，y_i）的分布，约有68.3%的点落在这两条直线之间的范围内。

                            图0-0-1  拟合直线两侧数据点的分布          

 

下面讨论拟合参数偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可见，直线拟合的两个参数估计值 和 是y_i的函数。因为假定x_I是精确的，所有测量误差只有y_i有关，故两个估计参数的标准偏差可利用不确定度传递公式求得，即

把式（0-0-10）与（0-0-11）分别代入上两式，便可计算得

             （0-0-14）

             （0-0-15）

三、相关系数及其显著性检验

 

当我们把观测数据点（x_i，y_i）作直线拟合时，还不大了解x与y之间线性关系的密切程度。为此要用相关系数ρ（x，y）来判断。其定义已由式（0-0-12）给出，现改写为另一种形式，并改用r表示相关系数，得

            （0-0-16）

式中 和 分别为x和y的算术平均值。r值范围介于-1与+1之间，即-1≤r≤1。当r>0时直线的斜率为正，称正相关；当r<0时直线的斜率为负，称负相关。当|r|＝1时全部数据点（x_i，y_i）都落在拟合直线上。若r＝0则x与y之间完全不相关。r值愈接近±1则它们之间的线性关系愈密切。