一．线性插值(一次插值）
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而
P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
则插值基函数为：
于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:
故 :
即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).
二次拉格朗日与多次拉格朗日还在参详中，等过段时间给大家一起交流