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  • CodeForces 1422 B Nice Matrix 题解

    题意

    给你一个 (n*m) 的矩阵,你可以每次将其中一个数 (+1)(-1) ,求多少次可以使矩阵每一行每一列为回文的.

    若一个数列 ((a_1,a_2,a_3,dots,a_n)) 为回文, (forall a_i ,a_i = a_{n-i+1})

    ( exttt{Data Range:})

    (1 leq n,m leq 100,a_i leq 10^9)

    思路

    我们注意到,要使每行每列都是回文的,就要使

    (a_{i,j} = a_{i,m-j+1} = a_{n-i+1,j} = a_{n-i+1,m-j+1})

    如图:

    即图中的 (4) 个绿色方块

    那我们只要每次处理这 (4) 个绿色方块,使其相同的操作次数最小。

    设这 (4) 个方块的数从小到大为 (x_1,x_2,x_3,x_4) ,最后我们要是这些数都变为 (mid)

    代价为 (s = |x_1-mid| + |x_2 - mid| + |x_3 - mid| + |x_4 - mid|)

    结论

    (x_2 leq mid leq x_3)(s) 有最小值。

    证明

    如图:

    绿色的线段和 代表 (s)

    不管 (x_1,x_2,x_3,x_4) 的大小,我们都可以发现:

    (x_2 <= mid <= x_3) 的情况最优。

    因此,我们只要枚举 (mid = x_2)(mid = x_3) 就可以算答案了。

    代码

    #define re(x) read(x)
    #define ll long long
    
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 110;
    const ll INF = 1e15;
    int n,m,a[MAXN][MAXN];
    
    int main (){
        int T; re(T);
        while(T--){
            re(n);re(m);
            for(int i = 1;i <= n;i++)
                for(int j = 1;j <= m;j++)
                    re(a[i][j]);
            ll ans = 0;
            for(int i = 1;i <= n/2;i++){
                for(int j = 1;j <= m/2;j++){ //每一行正中间的一个数无需考虑
                    ll tt = INF,sum;
                    
                    sum = a[i][j];
                    tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                    
                    sum = a[n-i+1][j];
                    tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                    
                    sum = a[i][m-j+1];
                    tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                    
                    sum = a[n-i+1][m-j+1];
                    tt = min(tt,abs(a[i][j]-sum) + abs(a[n-i+1][j]-sum)+abs(a[i][m-j+1]-sum) + abs(a[n-i+1][m-j+1]-sum));
                    
                    ans += tt;
    //注意,当时我写的时候没有排序,而是每个数进行枚举,因为数据量很小,所以可以过
                }
                if(m&1) ans += abs(a[i][m/2+1]-a[n-i+1][m/2+1]);
    //如果有居中的行,只要满足这一行为回文的.
            }
            if(n&1){
                for(int i = 1;i <= m/2;i++){
                    ans += abs(a[n/2+1][i] - a[n/2+1][m-i+1]);
                }
            }
            write(ans);
        }
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/werner-yin/p/-solution-CF-1422-B.html
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