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  • 题解 洛谷 P3294 [SCOI2016]背单词

    题目

    题目

    凤老师告诉 Lweb ,我知道你要学习的单词总共有 n 个,现在我们从上往下完成计划表,对于一个序号为 x 的单词(序号 1...x-1 都已经被填入):
    1. 如果存在一个单词是它的后缀,并且当前没有被填入表内,那他需要吃 n*n 颗泡椒才能学会;
    2. 当它的所有后缀都被填入表内的情况下,如果在 1...x-1 的位置上的单词都不是它的后缀,那么你吃 x 颗泡椒就能记住它;
    3. 当它的所有后缀都被填入表内的情况下,如果 1...x-1的位置上存在是它后缀的单词,所有是它后缀的单词中,序号最大为 y ,那么你只要吃 x-y 颗泡椒就能把它记住。
    请你帮助 Lweb ,寻找一种最优的填写单词方案,使得他记住这 n 个单词的情况下,吃最少的泡椒。
    

    思路

    分析

    因为后缀,我们可以想到字典树,但此题反向建立字典树。如图:

    其中,橙色的节点表示结尾。

    void insert(char *a){
    	int ls = strlen(a+1),p = 1;
    	for(int i = ls;i >= 1;i--){
    		int x = a[i] - 'a';
    		if(!trie[p].son[x]) trie[p].son[x] = ++cnt;
    		p = trie[p].son[x];
    	}
    	trie[p].en ++;
    }
    

    仔细理解题意后(我居然开始理解错了) ,我们可以发现:

    1. 对于情况1,我们应该避免,可以按照字典树从根到子节点遍历来解决,这样保证每次背单词 a 时,它的后缀已经背了。

    2. 情况2意味着这个单词只有一个字符,是情况3的特殊版本。

    因为只有背单词的顺序对答案有影响,因此,我们可以先重构字典树,把不是单词结尾的节点删去。

    这样,每个橙色的节点就代表一个单词。

    vector <int> g[MAXN];
    //重建树
    void rebuild(int x){//注意 1 号节点要提前标为单词节点
    	if(trie[x].en && x){
    		g[trie[x].las].push_back(x);
    		trie[x].las = x;
    	}
    	for(int i = 0;i < 26;i++) if(trie[x].son[i]){
    		int y = trie[x].son[i];
    		trie[y].las = trie[x].las;
    		rebuild(y);
    	}
    }
    

    最后一步重要的贪心:

    我们发现更新完一个父亲节点后,一定要更新完它的子树,这样每次更新的代价可以尽可能的小。

    但如果有多个子树呢?

    我们要考虑更新子树顺序。

    我们先用dfs求出每个子树大小。

    在拿出这个重构的树来考虑:

    我们可以发现,子树大小更小的子树应该先更新。

    证明

    为什么应该先更新(背)子树大小更小的子树?

    我们已用图做出了解答,这部分可跳过。

    因为一个子树一定时连着更新的,而更新的顺序仅对更新儿子节点代价有影响,因此,决定更新儿子节点代价的是在它前面更新(父亲节点后)了多少个节点。

    这可以转化成我们熟悉的打水问题。

    n 个人打水,每个人有一个打水时长,在某人打水时,其他未打水的人必须等待,求一种方案使所有人等待时间之和最短。

    显然,此类问题答案肯定是先让打水时间更短的人打水。

    此题中,打水时长即子树大小,等待时间之和类似于更新这些儿子节点的代价,于是应该先更新子树大小更小的子树。

    代码

    #define ll long long
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 5.1e5+10;
    const int MAXS = 5e5+10;
    
    struct Trie{
    	int son[26],en,las;
    	ll val;
    }trie[MAXN];
    
    int n,cnt = 1;
    ll ans,num = 0,siz[MAXN];
    vector <int> g[MAXN];
    
    // 记得long long
    
    void insert(char *a){ //倒序插入
    	int ls = strlen(a+1),p = 1;
    	for(int i = ls;i >= 1;i--){
    		int x = a[i] - 'a';
    		if(!trie[p].son[x]) trie[p].son[x] = ++cnt;
    		p = trie[p].son[x];
    	}
    	trie[p].en ++;
    }
    
    void rebuild(int x){//重建树
    	if(trie[x].en && x){
    		g[trie[x].las].push_back(x);
    		trie[x].las = x;
    	}
    	for(int i = 0;i < 26;i++) if(trie[x].son[i]){
    		int y = trie[x].son[i];
    		trie[y].las = trie[x].las;
    		rebuild(y);
    	}
    }
    
    bool cmp (int a,int b){ return siz[a] < siz[b];}
    
    void dfs(int x){//算子树大小
    	siz[x] = 1;
    	for(int i = 0;i < g[x].size();i++){
    		dfs(g[x][i]);
    		siz[x] += siz[g[x][i]];
    	}
    	sort(g[x].begin(),g[x].end(),cmp);
    }
    
    void getans(int x){//求出次序,算出答案
    	ll dfn = num++;
    	for(int i = 0;i < g[x].size();i++){
    		ans += num - dfn;
    		getans(g[x][i]);
    	}
    	return;
    }
    
    int main (){
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i = 1;i <= n;i++){
    		char a[MAXS];
    		scanf("%s",a+1);
    		insert(a);
    	}
    	trie[1].en = 1; //注意要先标记一下,以免出错(要在重建树中用到)
    	rebuild(1);
    	dfs(1);
    	getans(1);
    	printf("%lld",ans);
    	return 0;
    }
    

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