样本的均值性质

（1）(sumlimits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-overline{X})}=0);

（2）若总体(X)的均值、方差存在，且$EX=mu $， (DX={{sigma }^{2}})，则
$Eoverline{X}=mu $ ，(Doverline{X}=frac{{{sigma }^{2}}}{n})

（3）当$n o infty $ 时，$ overline{X}xrightarrow{p}mu $ .

证明 :

（1） (sumlimits_{i=1}^{n}{({{X}_{i}}-overline{X})} ext{=}sumlimits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}-noverline{X}=nfrac{sumlimits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}}}{n}-noverline{X}=noverline{X}-noverline{X}=0)

（2） (Eoverline{X}=E(frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}{E{{X}_{i}}}=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}{EX}=mu) ,
(Doverline{X}=D(frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}{{{X}_{i}}})=frac{1}{{{n}^{2}}}sumlimits_{i=1}^{n}{D{{X}_{i}}}=frac{1}{{{n}^{2}}}sumlimits_{i=1}^{n}{DX}=frac{1}{{{n}^{2}}}n{{sigma }^{2}}=frac{{{sigma }^{2}}}{n}) .

（3） 由概率论中的大数定律知，当$n o infty $ 时，(overline{X}xrightarrow{p}a) .