bzoj1038 [ZJOI2008]瞭望塔

Description

　　致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input

　　第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

Output

　　仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Sample Input

【输入样例一】
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0

Sample Output

【输出样例一】
1.000
【输出样例二】
14.500

HINT

 N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

正解：半平面交。

题目给了你一个半平面交，还要求一个半平面交。求出两个半平面交以后，直接抽象到坐标系上，对于两个分段函数，它们的距离最小值所在的位置只可能出现在两个函数的任意一个端点上。所以枚举每个端点，计算垂直距离，求出最小值就行了。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf 1e18
#define eps 1e-9
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
 
using namespace std;
 
struct node{ double a,b; }l[100010],st[100010];
struct point{ double x,y; }a[100010];
 
double ans;
int n,num;
 
il int gi(){
    RG int x=0,q=0; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') q=1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q ? -x : x;
}
 
il int cmp(const node &l1,const node &l2){ if (abs(l1.a-l2.a)<eps) return l1.b<l2.b; return l1.a<l2.a; }
 
il double getx(RG node x,RG node y){ return (x.b-y.b)/(y.a-x.a); }
 
il double gety(RG double x){
    RG int i; for (i=1;i<=n+1;++i) if (i==n+1 || a[i+1].x>=x) break; if (i==n+1) return -inf;
    RG double A=(a[i+1].y-a[i].y)/(a[i+1].x-a[i].x),B=a[i].y-A*a[i].x; return A*x+B;
}
 
il double gy(RG double x){ RG double ans=0; for (RG int i=1;i<=num;++i) ans=max(ans,st[i].a*x+st[i].b); return ans; }
 
il void work(){
    n=gi()-1; for (RG int i=1;i<=n+1;++i) scanf("%lf",&a[i].x); for (RG int i=1;i<=n+1;++i) scanf("%lf",&a[i].y);
    for (RG int i=1;i<=n;++i) l[i].a=(a[i+1].y-a[i].y)/(a[i+1].x-a[i].x),l[i].b=a[i].y-l[i].a*a[i].x;
    sort(l+1,l+n+1,cmp); l[n+1].a=inf,ans=inf;
    for (RG int i=1;i<=n;++i){
    if (abs(l[i+1].a-l[i].a)<eps) continue; if (num<=1){ st[++num]=l[i]; continue; }
    while(num>=2 && getx(l[i],st[num])<getx(st[num],st[num-1])) num--; st[++num]=l[i];
    }
    for (RG int i=1;i<num;++i){ RG double x=getx(st[i],st[i+1]),y=st[i].a*x+st[i].b,Y=gety(x); ans=min(ans,y-Y); }
    for (RG int i=1;i<=n+1;++i) ans=min(ans,gy(a[i].x)-a[i].y); printf("%0.3lf",ans); return;
}
 
int main(){
    work();
    return 0;
}