bzoj1013 [JSOI2008]球形空间产生器

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

正解：高斯消元。

高斯消元入门题。。个人感觉高斯-约当消元更好用吧，代码短一些。。

我们发现列出点到圆心的方程后是n+1个二次方程。然而我们只需把后n个方程都与第一个方程相减就能得到n个一次方程。然后直接套板子就行了。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1e18)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

double a[20][20];
int n;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void gauss(){
    for (RG int i=1;i<=n;++i){
    RG double maxs=-inf; RG int id;
    for (RG int j=1;j<=n;++j) if (fabs(a[j][i])>maxs) maxs=fabs(a[j][i]),id=j;
    if (id!=i) for (RG int j=1;j<=n+1;++j) swap(a[id][j],a[i][j]); RG double t=a[i][i];
    for (RG int j=i;j<=n+1;++j) a[i][j]/=t;
    for (RG int j=1;j<=n;++j){
        if (i==j) continue; t=a[j][i];
        for (RG int k=1;k<=n+1;++k) a[j][k]-=t*a[i][k];
    }
    }
    for (RG int i=1;i<n;++i) printf("%0.3lf ",a[i][n+1]);
    printf("%0.3lf
",a[n][n+1]); return;
}

il void work(){
    n=gi(); RG double x;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&a[0][i]);
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
    for (RG int j=1;j<=n;++j){
        scanf("%lf",&x);
        a[i][j]=2*(x-a[0][j]),a[i][n+1]+=x*x-a[0][j]*a[0][j];
    }
    gauss(); return;
}

int main(){
    File("sphere");
    work();
    return 0;
}