bzoj2005 [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

正解：莫比乌斯函数。

容易得出，题目要我们求的是$Ans=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[2*(gcd(i,j)-1)+1]$。那么我们一堆乱搞就行了。

从而得到$Ans=2sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$。

$Ans=2sum_{d=1}^{min(n,m)}d*sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]-n*m$。

$Ans=2sum_{d=1}^{min(n,m)}d*sum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{d} ight floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{m}{d} ight floor}[gcd(i,j)==1]-n*m$。

$Ans=2sum_{d=1}^{min(n,m)}d*sum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{d} ight floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{m}{d} ight floor}sum_{q|gcd(i,j)}mu(q)-n*m$。

$Ans=2sum_{d=1}^{min(n,m)}d*sum_{q=1}^{min(left lfloor frac{n}{d} ight floor,left lfloor frac{m}{d} ight floor)}mu(q)*left lfloor frac{n}{dq} ight floorleft lfloor frac{m}{dq} ight floor-n*m$。

然后我们运用数论分块，可以将时间复杂度优化至$O(nsqrt{n})$或$O(n)$。于是，这道题就被解决了。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (100010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define min(a,b) (a<b ? a : b)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int vis[N],mu[N],prime[N],n,m,nn,mm,cnt,pos1,pos2;
ll ans,anss;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void sieve(){
    vis[1]=mu[1]=1;
    for (RG int i=2;i<=m;++i){
    if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=m;++j,k=i*prime[j]){
        vis[k]=1; if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i]; else{ mu[k]=0; break; }
    }
    }
    for (RG int i=1;i<=m;++i) mu[i]+=mu[i-1]; return;
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(); if (n>m) swap(n,m); sieve();
    for (RG int d=1;d<=n;d=pos1+1){
    pos1=min(n/(n/d),m/(m/d)),nn=n/pos1,mm=m/pos1,anss=0;
    for (RG int i=1;i<=nn;i=pos2+1){
        pos2=min(nn/(nn/i),mm/(mm/i));
        anss+=(ll)(nn/pos2)*(ll)(mm/pos2)*(ll)(mu[pos2]-mu[i-1]);
    }
    ans+=(ll)(d+pos1)*(ll)(pos1-d+1)/2*anss;
    }
    printf("%lld
",2*ans-(ll)n*(ll)m); return;
}

int main(){
    File("energy");
    work();
    return 0;
}