关于积性函数的一些理解

首先，要Orz鏼爷。。http://jcvb.is-programmer.com/posts/41846.html

谈谈积性函数吧。。

百度百科的定义：

完全积性函数指所有对于任何a,b都有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的函数。

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数$f(n)$，若$f(1)=1$，且当a,b互质时$f(ab)=f(a)f(b)$，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数$f(n)$，就算a, b不互质，也有$f(ab)=f(a)f(b)$，则称它为完全积性的。

 

以下均是积性函数：（度娘～）

$phi(n)$－欧拉函数，

$mu(n)$－莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

$gcd(n,k)$－最大公因子，当k固定的情况

$d(n)$－n的正因子数目

$σ(n)$－n的所有正因子之和

$σk(n)$－因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

$1(n)$－不变的函数，定义为$1(n)=1$（完全积性）

$id(n)$－单位函数，定义为$id(n)=n$（完全积性）

$idk(n)$－幂函数，对于任何复数、实数k，定义为$idk(n)=n^{k}$（完全积性）

$varepsilon(n)$－定义为：若$n=1$，$varepsilon(n)=1$；若$n>1$，$varepsilon(n)=0$。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

$lambda(n)$－刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

$gamma(n)$，定义为$gamma(n)=(-1)^{omega (n)}$，在此加性函数$omega (n)$是不同能整除n的质数的数目

另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的。

 

积性函数有几个性质：

1.若$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{n}^{a_{n}}$，那么$f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}})f(p_{3}^{a_{3}})...f(p_{n}^{a_{n}})$。

2.若$f$为积性函数且有$f(p^{n})=f^{n}(p)$，那么$f$为完全积性函数。

 

狄利克雷卷积：

对于两个算术函数$f$和$g$，定义其狄利克雷卷积为$f*g$，其中$f*g(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d})$。

狄利克雷卷积满足很多性质：

交换律：$f*g=g*f$,

结合律：$(f*g)*h=f*(g*h)$,

逐点加法的分配律：$f*(g+h)=f*g+f*h$。

若$f$,$g$是积性函数，那么$f*g$也是积性函数。

狄利克雷卷积可以用$O(nlogn)$的筛法预处理出来。

 

对于积性函数，还有两个很重要的性质：

$sum_{d|n}mu(d)=[n==1]$，即$1*mu=varepsilon$。

$sum_{d|n}phi(d)=n$，即$1*phi=id$。

 

积性函数可以用$O(n)$的时间线性筛求出，以下是筛素数,$mu(n),phi(n)$的代码：

vis[0]=vis[1]=1,mu[1]=1,phi[1]=1;
for (RG int i=2;i<=N;++i){
    if (!vis[i]) mu[i]=-1,phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=N;++j,k=i*prime[j]){
    vis[k]=1;
    if (!(i%prime[j])){ mu[k]=0,phi[k]=phi[i]*prime[j]; break; }
    else mu[k]=-mu[i],phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]];
    }
}

可以发现，线性筛分为3部分：

1.n本身是素数，这个根据积性函数的定义可得，很容易求。

2.i%prime[j]!=0，这个也是根据积性函数的性质可得，即$f(a)f(b)=f(ab)$。

3.i%prime[j]==0，这个就很麻烦了，可能需要找规律。据ljh2000神犇的说法，可以用2,4,8或3,9,27这些数来找。。

总之就是一句话：打表找规律！！！

先打素数，找素数规律，再找2,4,8和3,9,27，找出规律！然后就可以乱搞线性筛了！！！

然后，线性筛并不一定只能筛积性函数，有些具有特殊性质的函数也可以用线性筛。

以上是预备知识，可以为莫比乌斯反演做一些铺垫吧。。