bzoj4407 于神之怒加强版

Description

Input

多组数据。
第一行是两个数T,K;
之后的T行，每行两个整数n，m；

Output

T行，每行一个结果

Sample Input

1 2
3 3

Sample Output

20

Hint

T<=2000,1<=N,M,K<=5000000

正解：莫比乌斯函数。

一顿乱推。。

$Ans=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)^{k}$

$Ans=sum_{d=1}^{min(n,m)}d^{k}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$

然后推到$Ans=sum_{d=1}^{min(n,m)}d^{k}sum_{p=1}^{min(frac{n}{d},frac{m}{d})}mu(p)left lfloor frac{n}{dp} ight floorleft lfloor frac{m}{dp} ight floor$

令$Q=dp$，$Ans=sum_{Q=1}^{min(n,m)}left lfloor frac{n}{Q} ight floorleft lfloor frac{m}{Q} ight floorsum_{d|Q}d^{k}mu(frac{Q}{d})$

令$f(Q)=sum_{d|Q}d^{k}mu(frac{Q}{d})$，我们发现，因为$d^{k}$是个积性函数，$mu$也是个积性函数，于是根据狄利克雷卷积的性质，$f(Q)$也是个积性函数。

然后我们打表找规律，发现当$i$为质数时，$f(i)=i^{k}-1$；当$i mod prime[j]=0$时，$f(i*prime[j])=f(i)*prime[j]^{k}$。

于是我们就能线性筛出$f(i)$，然后求出前缀和，运用数论分块，我们可以将复杂度降至$O(sqrt{n}T)$。于是，这道题就被顺利解决了。

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#include <algorithm>
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#include <cstdio>
#include <vector>
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#define inf (1<<30)
#define N (5000010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (1000000007)
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int vis[N],prime[N],T,k,n,m,cnt,pos;
ll bin[N],mu[N],f[N],ans;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
    RG ll ans=1;
    while (b){
    if (b&1) ans=ans*a; a=a*a,b>>=1;
    if (ans>=rhl) ans%=rhl;
    if (a>=rhl) a%=rhl;
    }
    return ans;
}

il void sieve(){
    vis[1]=mu[1]=f[1]=bin[1]=1;
    for (RG int i=2;i<N;++i){
    if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=rhl-1,bin[i]=qpow(i,k),f[i]=(bin[i]+rhl-1)%rhl,prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<N;++j,k=i*prime[j]){
        vis[k]=1;
        if (i%prime[j]) mu[k]=rhl-mu[i],f[k]=f[i]*f[prime[j]]%rhl;
        else{ f[k]=f[i]*bin[prime[j]]%rhl; break; }
    }
    }
    for (RG int i=2;i<N;++i){
    mu[i]+=mu[i-1],f[i]+=f[i-1];
    if (mu[i]>=rhl) mu[i]-=rhl;
    if (f[i]>=rhl) f[i]-=rhl;
    }
    return;
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(),ans=0; if (n>m) swap(n,m);
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
    ans+=(ll)(n/i)*(ll)(m/i)%rhl*(f[pos]-f[i-1]+rhl)%rhl;
    if (ans>=rhl) ans-=rhl;
    }
    printf("%lld
",ans); return;
}

int main(){
    File("4407");
    T=gi(),k=gi(),sieve();
    while (T--) work();
    return 0;
}