bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

正解：欧拉函数。

我想到杜教筛和莫比乌斯函数上去了。。想了好久都没想出来。。

我们考虑一下，对于$n$的一个因子$k$，满足$gcd(n,i)=k$的数有多少个。那么既然$gcd(n,i)=k$，那么$gcd(frac{n}{k},frac{i}{k})=1$，于是我们找出小于等于$frac{n}{k}$的数，且与它互质的数的个数，那这就是欧拉函数。直接用欧拉函数公式$phi(n)=n*(1-frac{1}{p_{1}})*(1-frac{1}{p_{2}})*...*(1-frac{1}{p_{K}})$求出来就行了。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
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#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
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#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

ll n,m,ans;

il ll phi(RG int n){
    RG ll x=n;
    for (RG ll i=2;i<=m;++i){
    if (n%i) continue;
    x=x/i*(i-1);
    while (!(n%i)) n/=i;
    }
    if (n>1) x=x/n*(n-1); return x;
}

il void work(){
    cin>>n; m=sqrt(n);
    for (RG ll i=1;i<=m;++i){
    if (n%i) continue;
    ans+=i*phi(n/i);
    if (i<n/i) ans+=(n/i)*phi(i);
    }
    cout<<ans; return;
}

int main(){
    File("longge");
    work();
    return 0;
}