bzoj3142 [Hnoi2013]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

 

正解：数学。

 

纯数学题。

考虑差分一下，即记$sum_{i=1}^{k-1}del[i]=a[k]$。

那么方案数为$sum(n-sum_{i=1}^{k-1}del[i])$。

把式子拆开，变成$n*m^{k-1}-sum(sum_{i=1}^{k-1}del[i])$。

考虑后面那个式子如何解决，我们可以发现，$[1,m]$的每一个数都是互不影响的。

也就是说，$[1,m]$每一个数的总出现次数相等。

那么后面那一坨就是$(k-1)*m^{k-1}/m*sum_{i=1}^{m}i=(k-1)*m^{k-2}*(m(m+1)/2)$。

于是问题得到解决。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

ll n,k,m,p;

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
  RG ll ans=1;
  while (b){
    if (b&1) ans=ans*a%p;
    a=a*a%p,b>>=1;
  }
  return ans;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("seq.in","r",stdin);
  freopen("seq.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n>>k>>m>>p;
  if (k==1) cout<<n;
  else cout<<(n%p*qpow(m,k-1)%p-(k-1)*qpow(m,k-2)%p*((m*(m+1)>>1)%p)%p+p)%p;
  return 0;
}