bzoj2004 [Hnoi2010]公交线路

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距

离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和

终点站也算被经过）。 

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只

需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5) 

P<=10 , K <=8

 

正解：状压$dp$+矩阵快速幂优化。

以前考过，当时什么都不会，现在看来还是不难吧。。

不过一直在想矩阵快速幂会$T$啊，结果就被告知状态数其实很少，可以把它离散化(差不多这意思吧)。。

所以大概就是设$f[i][j]$表示到了第$i$个站，所有公交车离这个车站的距离的状态为$j$，这个转移是暴力的。

乍一看，$j$可以取$[0,2^{p}-1]$这么多状态，但是我们可以发现，每次都有一个公交车与这个车站的距离为$0$，所以我们状态数可以$/2$。

然后我们又可以发现，$j$里面一定有$k-1$个$1$，那么我们算一下$inom{p-1}{k-1}$，发现最大只有$inom{9}{4}=126$。

于是我们把这些状态压到一个数组里，如果$i$状态可以转移到$j$状态，那么转移矩阵的$[i][j]$这个位置就可以赋为$1$。

那么初始状态是$f[k][2^{p}-2]=1$，乘上转移矩阵的$n-k$次方，找到$f[n][2^{p}-2]$就是答案了。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (30031)

using namespace std;

struct data{ int m[130][130]; }a,b;

int st[130],n,k,p,sz,now;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

il int calc(RG int s){
  RG int res=0; while (s) res+=s&1,s>>=1; return res;
}

il int can(RG int i,RG int j){
  RG int x;
  if (st[i]>>(p-1)&1){
    x=(st[i]^(1<<(p-1)))<<1;
    return (x|2)==st[j];
  }
  if ((st[i]<<1)==st[j]) return 1;
  for (RG int s=0;s<p;++s)
    if (st[i]>>s&1){
      x=(st[i]^(1<<s))<<1;
      if ((x|2)==st[j]) return 1;
    }
  return 0;
}

il data mul(data a,data b){
  data c;
  for (RG int i=1;i<=sz;++i)
    for (RG int j=1;j<=sz;++j){
      c.m[i][j]=0;
      for (RG int k=1;k<=sz;++k)
    (c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j])%=rhl;
    }
  return c;
}

il data qpow(data a,RG int b){
  data ans=a; --b;
  while (b){
    if (b&1) ans=mul(ans,a);
    a=mul(a,a),b>>=1;
  }
  return ans;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("bus.in","r",stdin);
  freopen("bus.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n>>k>>p;
  for (RG int s=0;s<(1<<p);++s)
    if (!(s&1) && calc(s)==k-1) st[++sz]=s;
  for (RG int i=1;i<=sz;++i)
    for (RG int j=1;j<=sz;++j)
      if (can(i,j)) b.m[i][j]=1;
  for (RG int i=1;i<=sz;++i)
    if (st[i]+1==(1<<k)-1) a.m[1][now=i]=1;
  b=qpow(b,n-k),a=mul(a,b);
  cout<<a.m[1][now]; return 0;
}