bzoj4872 [Shoi2017]分手是祝愿

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

 

正解：期望$dp$+贪心。

这题其实不难，人蠢想不出。。

我们考虑如果直接算最小答案该怎么搞，肯定是从编号大的灯往编号小的灯关，这样肯定是最优的。那么如果这个答案小于等于$k$，那最终答案就是它。直接这样做有$80$分。。

考虑前面随机关灯的那一部分怎么搞。假设现在至少还要进行$k$操作，那么我们可以知道，如果关对应的$k$盏灯，可以让操作次数减一，否则会让操作次数加一。

那么我们可以设一个状态，$f[i]$表示从至少还要进行$i$次操作到至少还要进行$i-1$次操作的期望操作次数。

分两种情况讨论，如果这次关的灯是指定的$i$盏灯，那么会让答案减一，否则会让答案加一。

那么$f[i]=frac{i}{n}+frac{n-i}{n}*(1+f[i+1]+f[i])$，这个式子还是比较好懂吧。。

化简可以得到$f[i]=frac{n+(n-i)f[i+1]}{i}$，又$f[n+1]=0$，所以我们就可以直接$dp$了。

答案就是$k+sum_{i=k+1}^{ans}f[i]$。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define N (100010)
#define rhl (100003)

using namespace std;

struct edge{ int nt,to; }g[5000010];

int head[N],a[N],f[N],inv[N],n,k,num,fac,res,ans;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

il void insert(RG int from,RG int to){
  g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("divide.in","r",stdin);
  freopen("divide.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),k=gi(),fac=1;
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    a[i]=gi(),fac=1LL*fac*i%rhl;
    inv[i]=i==1 ? 1 : 1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
    for (RG int j=i;j<=n;j+=i) insert(j,i);
  }
  for (RG int i=n;i;--i){
    if (!a[i]) continue; ++ans;
    for (RG int j=head[i];j;j=g[j].nt) a[g[j].to]^=1;
  }
  if (ans>k){
    for (RG int i=n;i>k;--i)
      f[i]=(1LL*(n-i)*f[i+1]+n)*inv[i]%rhl;
    for (RG int i=ans;i>k;--i){
      res+=f[i]; if (res>=rhl) res-=rhl;
    }
    ans=k+res; if (ans>=rhl) ans-=rhl;
  }
  cout<<1LL*ans*fac%rhl; return 0;
}