bzoj1084 [SCOI2005]最大子矩阵

Description

　　这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。

Input

　　第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。

Output

　　只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。

Sample Input

3 2 2
1 -3
2 3
-2 3

Sample Output

9

正解：$dp$。

首先注意到一个性质：$mleq 2$。

那么我们可以考虑一下，每次一个子矩阵要么只在第一列，要么只在第二列，要么横跨两列。

那么我们可以设$f[i][j][k]$表示第一列到$i$，第二列到$j$，取了$k$个子矩阵的最大值，转移比较简单，不过注意第三种情况只有$i=j$时才能转移。

$m=1$时同理，就是把$f[i][j][k]$换成$f[i][k]$就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define inf (1<<30)

using namespace std;

int sum[110][2],g[110][2],n,m,k;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

namespace dp1{
  
  int f[110][12];
  
  int main(){
    for (RG int i=0;i<=n;++i)
      for (RG int j=1;j<=k;++j) f[i][j]=-inf;
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
      for (RG int j=1;j<=k;++j){
    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
    for (RG int p=0;p<i;++p)
      f[i][j]=max(f[i][j],f[p][j-1]+sum[i][1]-sum[p][1]);
      }
    cout<<f[n][k]; return 0;
  }
  
}

namespace dp2{
  
  int f[110][110][12];
  
  int main(){
    for (RG int i=0;i<=n;++i)
      for (RG int j=0;j<=n;++j)
    for (RG int p=1;p<=k;++p) f[i][j][p]=-inf;
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
      for (RG int j=1;j<=n;++j)
    for (RG int p=1;p<=k;++p){
      f[i][j][p]=max(f[i][j][p],f[i-1][j][p]);
      f[i][j][p]=max(f[i][j][p],f[i][j-1][p]);
      for (RG int pre=0;pre<i;++pre)
        f[i][j][p]=max(f[i][j][p],f[pre][j][p-1]+sum[i][1]-sum[pre][1]);
      for (RG int pre=0;pre<j;++pre)
        f[i][j][p]=max(f[i][j][p],f[i][pre][p-1]+sum[j][2]-sum[pre][2]);
      if (i==j)
        for (RG int pre=0;pre<i;++pre)
          f[i][j][p]=max(f[i][j][p],f[pre][pre][p-1]+sum[i][1]-sum[pre][1]+sum[j][2]-sum[pre][2]);
    }
    cout<<f[n][n][k]; return 0;
  }
  
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("matrix.in","r",stdin);
  freopen("matrix.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),m=gi(),k=gi();
  for (RG int i=1;i<=n;++i)
    for (RG int j=1;j<=m;++j) g[i][j]=gi();
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    sum[i][1]=sum[i-1][1]+g[i][1];
    sum[i][2]=sum[i-1][2]+g[i][2];
  }
  if (m==1) dp1::main();
  if (m==2) dp2::main();
  return 0;
}