整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒 空间限制：C/C++ 32M，其他语言64M 

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

 

思路：

　　最笨的方法，就是用两个循环，外部循环取数，内部循环取每位数上的值，判断是否为1，时间复杂度达到了O(n^2)级别

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        if(n < 0)
            return 0;
        int count = 0;
        for(int i =n;i>0;i-- )
        {
            for(int j =i;j > 0;j /=10)
            {
                if(j %10 == 1)
                    count++;
            }
        }
        return count;
    }
};

　　另一种方法就是找出规律，归纳出合理的公式

　　先固定某位数的值为1，将一个数分为两部分，高位和低位。假设一个五位数n,用m来分割高低位，根据设定的整数位置，对n分割，分为两部分，高位n/m，低位就是n%m，分为三种情况，（再假设m所在位数为百位）

　　1、当百位数>=2，如n = 31456，m = 100，则高位a = 314，低位b = 56

　　　　100  ~ 199

　　　　1100~1199
　　　　…
　　　　31100~31199

　　　　此时百位为1 的次数有a/10 + 1 = 32(最高两位0~31)，每一次都包含了100~199这100个连续的点，所以共有(a / 10 + 1) * 100个点的百位为1

　　2、当百位数 ==1，如n = 31156，m = 100，则a = 311，b = 56　　

　　　　100  ~ 199

　　　　1100~1199
　　　　…
　　　　31100~31156

　　　　此时百位为1，共有a/10(最高两位0~30)次包含100个连续的点，即(a / 10) * 100 ,再加上局部点00~56，共有b+1次，即总共1的次数为（a/10）* 100 + b+1次

　　3、当百位数 ==0时，如n=31056，m = 100，则a = 310，b = 56

　　　　100  ~ 199

　　　　1100~1199
　　　　…
　　　　31000~31056

　　　　一共有（a/10） *100个1

　　综上三种情况，当百位对于0或者>=2时，有（a+8）/10次包含有100个连续点，还有当百位==1（a%10 ==1）时，需要增加局部点b+1

　　（之所以加8，是因为当百位数为0，则a / 10 = (a + 8）/10,当百位>=2，加8会产生进位，效果等同于（a/10 + 1）,这样就可以将上述三种情况用一个表达式进行表达：

　　　　　　count = (a + 8) // 10 * m + (a % 10 == 1) * (b + 1)

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        if(n < 0)
            return 0;
        int i = 1;
        int count = 0;
        for(i = 1;i <= n;i*=10)
        {
            int a = n/i,b = n%i;
            count += (a+8)/10*i + (a % 10 == 1)*(b+1);
        }
        return count;
    }
};