C++:后缀表达式

1.基本概念

后缀表示法也叫逆波兰表示法（前缀就是波兰表示法），由于所有的操作符都在操作数的后面，所以被称为后缀表示法。

中缀表示法的操作符在操作数之间，也是最符合人的逻辑。前缀表示法的操作符在操作数之前，它和后缀表示法一样，都是为了方便计算机计算，因为在后缀或前缀中没有括号，也不存在优先级处理的问题，直接利用栈进行计算。

示例：

中缀：5+(1+2)*4-3
后缀：512+4*+3-

2.中缀表示转后缀表示

中缀转后缀可以从左向右扫描表达式，然后按照规则进行处理，
对于中缀表达式a+(b+c)*d-e的转换步骤：

(1). 首先初始化两个栈：输出栈rpn_和操作符栈rpn_stack

(2). 从左至右扫描表达式，遇到操作数则直接压入输出栈，在遇到a时，由于是操作数，将"a"压入rpn_

(3). 继续扫描，遇到操作符时，如果该操作符优先级高于rpn_stack栈顶的操作符，则直接压入rpn_stack，如果同级或低于栈顶操作符，则将栈中操作符依次弹出（同时压入输出栈）直到遇到比当前操作符优先级低的（或者遇到了"("），然后压入操作符。（注意，对于操作符"("，只有")"才能将其弹出，其他情况不弹出"("）。现在我们扫描到了"+"，由于当前的操作符栈空，直接压入。

(4). 然后读取到"("，由于它的优先级是最高的，只要遇到就直接压入栈。

(5). 然后读取到操作数"b"，压入输出栈 rpn_。

(6). 继续读取到 "+" ，当前操作符栈的栈顶是"("，因为只有")"才能将其弹出，所以"+"入栈。

(7). 读取的"c"压入输出栈。

(8). 读取到了")"，此时开始将操作符栈的操作符依次弹出（同时压入输出栈），直到遇到第一个"("，将"("弹出。（"("和")"都不能进入输出栈）

(9). 然后读取到" * "，当前操作符栈的栈顶是"+"，优先级低于" * "，所以直接压入栈。

(10). 读取的"d"压入输出栈

(11). 读取到"-"，当前栈顶是" * "，比"-"的优先级高，所以" * "弹出（同时压入输出栈，下同），然后栈顶"+"的优先级和"-"相同，也要弹出。此时操作符栈空，"-"压入

(12). 读取到了"e"，压入输出栈，此时表达式读取完毕，将操作符栈依次弹出并压入输出栈，完成了转换，输出为abc+d*+e-。

以下是将中缀表达式转化为后缀表达式的代码:

// 比较操作符A和操作符B的优先级
bool opAisBiggerThanOpB(string opA, string opB)
{
	if (opA == "*" || opA == "/" && opB != "*" && opB != "/" && opB!= "(")
		return true;
	else
		return false;
}

// 中缀表达式转后缀表达式
bool parseFormula(string formula)
{
	vector<string> rpn_; // 总输出
	vector<string> rpn_stack; // 符号堆栈
	string sign_; // 临时保存操作数
	for (int i = 0; i < formula.size(); ++i)
	{
		if (formula[i] != '+'&&formula[i] != '-'&&formula[i] != '*'&&formula[i] != '/' && formula[i] != '(' &&formula[i] != ')') // 如果是操作数的话就保存起来等待输出
		{
			sign_ += formula[i];
		}
		else
		{
			string t_formula;
			t_formula += formula[i];

			// 操作数输出
			if (!sign_.empty()) 
			{
					rpn_.push_back(sign_);
					sign_.clear(); // 清空，保存下一个操作数
			}

			//操作符入栈
			if (t_formula == ")")
			{
				while (rpn_stack[rpn_stack.size() - 1] != "(")
				{
					if (rpn_stack.empty())
						return false;
					rpn_.push_back(rpn_stack[rpn_stack.size() - 1]);
					rpn_stack.pop_back();
				}
				rpn_stack.pop_back();

			}
			else if (rpn_stack.empty())
				rpn_stack.push_back(t_formula);
			else if (t_formula == "(" || rpn_stack[rpn_stack.size() - 1] == "(")
				rpn_stack.push_back(t_formula);
			else if (opAisBiggerThanOpB(t_formula, rpn_stack[rpn_stack.size() - 1]))
				rpn_stack.push_back(t_formula);
			else 
			{
				while (!opAisBiggerThanOpB(t_formula, rpn_stack[rpn_stack.size() - 1]) && rpn_stack[rpn_stack.size() - 1]!="(")
				{

					rpn_.push_back(rpn_stack[rpn_stack.size() - 1]);
					rpn_stack.pop_back();
					if (rpn_stack.empty())
						break;
				}
				rpn_stack.push_back(t_formula);
			}




		} // end else
	} // end for

	// 处理最后的还留在暂存区的操作数和操作符
	if (!sign_.empty())
		rpn_.push_back(sign_);
	if(!rpn_stack.empty())		
	{
		for(int i = rpn_stack.size()-1;i>=0;--i)
			rpn_.push_back(rpn_stack[i]);
	}

	// 输出测试
	string rpn;
	for (int i = 0; i < rpn_.size(); ++i)
	{
		rpn += rpn_[i];
	}
	cout << rpn << endl; 

	return true;
}

例如:parseFormula("5+((1+2)*4)-3");

输出为:512+4*+3-

3.后缀表达式的计算

对于后缀表达式:5 1 2 + 4 * + 3 -：

(1). 首先建立一个栈 res 用来保存中间值，从左到右读取后缀表达式，遇到操作数直接入栈，遇到操作符则将栈顶的两个操作数弹出，完成计算后将计算结果压入栈。

(2). 首先读取了 5、1、2，将它们依次入栈，当前的栈：

res: 栈底 5 1 2 栈顶

(3). 然后读取到操作符"+"，弹出2，然后弹出1，将1+2的运算结果3压入栈：

res: 栈底 5 3 栈顶

(4). 然后读取到的操作数"4"入栈，接着读取到" * "，如同上面，将4弹出，将3弹出，计算3*4然后将12压入栈。

(5). 后面的操作和前面一样。

(6). 结果：14