给个定义吧：第一类斯特林数 (nrack k) 表示将 (n) 个元素分成 (k) 个环的方案数，第二类斯特林数 (nrace k) 表示将 (n) 个元素分成 (k) 个集合的方案数，分别有以下两个递推式
[{nrack k}={n-1rack k-1}+(n-1){n-1rack k}, {nrace k}={n-1race k-1}+k{n-1race k}
]
然后第二类斯特林数和组合数有如下的关系：
[{nrace k}=frac 1{k!}sum_{j}(-1)^jinom kj(k-j)^n
]
以及重要恒等式：
[x^{underline{n}}=sum_{k}{nrack k}x^k
]
相当于是说，第一类斯特林数 (nrack k) 的生成函数就是 (x^{underline{n}})
以及斯特林反演：
[f_n=sum_{k}{nrack k}g_kLeftrightarrow g_n=sum_{k}(-1)^{n-k}{nrace k}f_k
]
和等价形式：
[f_n=sum_{k}(-1)^k{nrack k}g_kLeftrightarrow g_n=sum_{k}(-1)^{k}{nrace k}f_k
]
那么根据斯特林反演和重要恒等式，我们可以导出四个上升幂、下降幂、普通幂之间的互推柿子，比较常用的是下面这个：
[x^n=sum_k(-1)^{n-k}{nrace k}x^{underline{k}}
]
斯特林数和差分也有着奇妙关系，主要是这个：
[Delta^mx^n|_{x=0}=m!{nrace m}
]
其他就没什么了，还有就是分治 FFT 可以快速预处理斯特林数。