回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
什么情况下适合使用回溯法呢？ 那先来看看适用回溯法的问题的一般描述：
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解决这类问题最直接的办法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。
回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法的求解过程
由于问题的解向量X=(x1, x2, …, xn)中的每个分量xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此，回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积S1×S2×…×Sn中的元素。初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a11，如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择S2的第一个元素作为解向量X的第2个分量，否则，选择S1的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a12。依此类推，一般情况下，如果X=(x1, x2, …, xi)是问题的部分解，则选择Si+1的第一个元素作为解向量X的第i+1个分量时，有下面三种情况：
（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。如果问题只希望得到一个解，就结束搜索，否则继续搜索其他解；
（2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解向量的下一个分量；
（3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题的最终解，则存在下面两种情况：
① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量；
② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1；否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；
在用回溯法求解问题时，常常遇到两种典型的解空间树：
（1）子集树（Subset Trees）：当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。在子集树中，|S1|=|S2|=…=|Sn|=c，即每个结点有相同数目的子树，通常情况下c=2，所以，子集树中共有2n个叶子结点。因此，遍历子集树需要Ω(2n)时间。例如，0/1背包问题的解空间树是一棵子集树。
（2）排列树（Permutation Trees）：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。在排列树中，通常情况下，|S1|=n，|S2|=n-1，…，|Sn|=1，所以，排列树中共有n!个叶子结点，因此，遍历排列树需要Ω(n!)时间。例如，TSP问题的解空间树是一棵排列树。
回溯法的适用性
- 回溯法的n个输入向量应该是能够独立判断是否属于解空间的，如果必须把所有的n个向量都检查后得到的一个值再去判断是否属于解空间，就成为了穷举法；
- 回溯法的n个输入向量需要固定，如果第一个向量选择后，第一个向量依然要参与选择，就会成为死循环。
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