平面分割问题小结

ACM学习群里接触到的问题，既然假期有时间就写个总结吧。

部分内容参考了：

http://www.2cto.com/kf/201207/144626.html

http://www.doc88.com/p-272339677599.html

问题一：直线分割平面问题

题意：n条直线，最多可以把平面分为多少个区域。
思路：当有n-1条直线时，平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要切成的区域数最多，就必须将直线尽可能两两相交，而避免多条直线相交于一点和平行关系的出现。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线段。而每条射线和线段将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）个区域。
由此可得：f(n) = f(n-1)+n = f(n-2)+(n-1)+n =f(1)+1+2+……+n = n(n+1)/2+1。

问题二：折现分割平面 (Hdu 2050)

根据直线分平面可知，由交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时，区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
由此可得：f(n) = f(n-1)+4(n-1)+2-1 = f(n-1)+4(n-1)+1 = f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2 = f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1) = 2n^2-n+1

#include <cstdio>

int main ()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",2*n*n-n+1);
    }
    return 0;
}

问题三：椭圆切割平面

该问题只讨论两两椭圆只有两个交点的情况

题意：有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

设椭圆数为n，分割数为S(n)

则：S(1)=2 , S(2) =4 , S(3)=8 , S(4)=14 ……

思路：当n-1个圆时，区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交，则第n个圆被分为2（n-1）段线段，增加了2（n-1）个区域。
则： f(n) = f(n-1)+2(n-1) = f(1)+2+4+……+2(n-1) = n^2-n+2

问题四：三角形分割平面 (Hdu 1249)

设三角形数为n，分割数为S(n)

则S(1)=2 , S(2)=8 , S(3)=20 , S(4)=38

当 n=2 时，新增的三角形与原有的三角形有了6个交点，即每边两个交点，也就产生6个新增区域，同理递推

递推式：S(n) = S(n-1)+6(n-1)

S(n)=3*n^2-3*n+2

#include <cstdio>

int main ()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",3*n*n-3*n+2);
    }
    return 0;
}

问题五：平面分割空间问题（hdu1290）

由二维的分割问题可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢？当有n-1个平面时，分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数，则第n个平面需与前n-1个平面相交，且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成 g(n-1)个区域。（g(n)为问题一中的直线分平面的个数）此平面将原有的空间一分为二，则最多增加 g(n-1) 个空间。
则：f=f(n-1)+g(n-1)    ps:g(n)=n(n+1)/2+1

         =f(n-2)+g(n-2)+g(n-1) = f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1) = 2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1=(n^3+5n)/6+1

#include <cstdio>

int main ()
{
    int n;
    while (~scanf("%d",&n))
        printf("%d
",(n*n*n+5*n)/6+1);
    return 0;
}

补充：Acdream 1080

题目链接：http://acdreamoj.sinaapp.com/problem.php?id=1080

#include <cstdio>

long long Deal (long long s,long long e,long long n)
{
    if (e-s<=4)
    {
        for (long long i=s;i<=e;i++)
            if (i*i-i+2>=n)
                return i;
    }
    long long mid = (s+e)>>1;
    if ( mid*mid-mid+2 >= n )
        return Deal (s,mid,n);
    else
        return Deal (mid+1,e,n);
}

int main ()
{
    int n,T;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if (n==0 || n==2)
            printf("1
");
        else
            printf("%lld
",Deal (0,200000,n));
    }
    return 0;
}