自从2018年起我就一直在阅读《Physically Based Rendering:From Theory to Implementation》这本书，花了差不多1年的时间把它看了个大概。之后利用业余时间实现了书中介绍的路径追踪（Path Tracing）算法。今天来讲一讲该算法的理论推导。
pbrt镇楼：
首先说起路径追踪，就不能不提大名鼎鼎的渲染方程：
p代表从摄像机发出一条光线相交到的平面一点，wo代表从这一点到摄像机的方向，Le代表这一点自己所发出的光，Lo代表眼睛最终所看到的光强；然后积分内部则代表沿着这一点p对不同方向的立体角积分，f是在点p处，wo和wi下的brdf，Li是wi方向射入点p的光强，θi代表wi和p处法向的夹角。如下图所示：
但是如果直接对此公式积分的话，会存在一个很大的问题：这是一个递归的计算，想获得从摄像机某个方向的光线辐射，需要不断递归地采样，这对于计算机来说是非常大的计算量和存储量。因此，科学家们提出了路径追踪的方法，将整个光线递归树中的一条条路径抽取出来，将其转换为显式的路径积分形式，这两种形式在数学上是等价的。
为此，我们就需要记录路径中每条光线的两个顶点，对于一条由n-1条光线组成的路径，我们可以得到n个顶点，并将上面的积分公式转化为顶点的形式。得到了顶点后，还需要对上式的积分形式予以变化，将它由立体角的积分转化为按面积的积分。
我们首先对上面所提的L和f重新定义：
p和p'的定义见下图
接下来是将立体角的积分转化为面积的积分，假设平面上的一点p形成了一个半径为d的球面，那么球面上面积为A的立体角为：
θ为该平面法向和p到平面向量的夹角，如下图所示
那么，我们可以定义一个几何参数G，其中V代表p和p'两点，是否可见，可见为1，不可见为0：
根据以上公式，代换得到路径追踪的面积积分形式：
得到了上式以后，我们可以对这个公式进行展开：
为了简化上式，我们定义P为：
在这里
可以理解为一条具有n+1个顶点的路径的光照贡献。其中：
那么就可以通过代换得到：
我们还可以定义吞吐量T的概念，它表示路径中光源发出的辐射亮度沿着该路径传递到摄像机的分量：
因此：
然后对前面求出的路径追踪的面积形式进行蒙特卡洛积分就可以了。
另外需要提到一点，在进行蒙特卡洛积分的时候，pdf也需要从立体角转换到面积的形式，经过代换，积分中的G项最终只会保留cosθ，这样可以大大简化计算。见PBRT第三版875页。