线性筛欧拉函数

线性筛欧拉函数

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，用(varphi(n))表示。

通式： $ varphi(x)=xprodlimits_{i=1}^{n}{(1-frac{1}{p_i})} $

其中(p_1, p_2……p_n)为(x)的所有质因数，(x)是不为0的整数。

性质：

1. $ varphi(1)=1 $
2. 当正整数p为质数时 $ varphi(n)=n-1 $
3. 欧拉函数是积性函数，当a与b互质时，满足 $ varphi(a imes b)=varphi(a) imes varphi(b) $
4. 当p为质数时 $ varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1) imes p^{k-1} $ 因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
5. 当n为奇数时，$ varphi(2n)=varphi(n) $，证明与上述类似。
6. 当(n>2)时，$ varphi(n) $都是偶数

两种代码(都能顺便筛素数)

1. 第一种写法 类似于埃氏筛法 (O(nsqrt{n})?)，不推荐

int euler[maxn];
void euler_init(){ 
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
      euler[i]=i;			//初始化 
    for(int i=2;i<maxn;i++)
       if(euler[i]==i)		//判断是否为质数 若euler[i]!=i说明已经进行过运算了 
          for(int j=i;j<maxn;j+=i)
            euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 

2. 第二种写法 欧拉筛改版(O(n))

int prime[1000010],phi[1000010],cnt=0;
bool vis[10000010];
void Euler(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;//①
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			if(i*prime[j]>n)break;
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//②
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//③
		}
	}
}

• ①，参见性质2
• ②，参见通式
  若i%prime[j]==0,则

[egin{split}varphi(i imes prime[j]) =i imes prime[j] imes prodlimits_{i=1}^{n}{(1-frac{1}{p_i})} =prime[j] imes varphi(i)end{split} ]

• ③，参见性质2和性质3
  若i%prime[j]!=0,则

[varphi(i imes prime[j])=varphi(i) imes varphi(prime[j])=varphi(i) imes (prime[j]-1) ]

欧拉定理

若n,a为正整数，且n,a互质，则$ a^{varphi(n)} equiv 1 pmod n $

当n为质数时，即为费马小定理$ a^{n-1} equiv 1 pmod n$

应用

求解乘法逆元，若a,n互质，则
$ a^{varphi(n)} equiv 1 pmod n\ Rightarrow a^{varphi(n)-1} imes a equiv a^{-1} imes a pmod n\ Rightarrow a^{varphi(n)-1} equiv a^{-1} pmod n( 所以，a的在模n意义下的乘法逆元等于) a^{varphi(n)-1} $