Yahoo Programming Contest 2019 E

E - Odd Subrectangles

思路：

对于行方案固定的情况下，假设和为奇数的列为a个，和为偶数的列为b个，a+b = m

那么从奇数里面选奇数个，即C(a, 1) + C(a, 3) + C(a, 5) + ... = 2^(a-1)

从偶数里面随便选，即2^b

那么在存在奇数的情况下，列方案数为 2^(a+b-1) = 2^(m-1)

如果不存在奇数呢？那么问题就变为寻找使得所有列和都为偶数的行方案，即行向量异或起来为0

这种行方案数为2^(n-r)， 其中 r 为矩阵的秩，求矩阵的秩用线性基

所以最后答案为 （2^n - 2^(n-r)) * 2^(m-1)

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize(4)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define y1 y11
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1.0)
#define LL long long
//#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls rt<<1, l, m
#define rs rt<<1|1, m+1, r
#define ULL unsigned LL
#define pll pair<LL, LL>
#define pli pair<LL, int>
#define pii pair<int, int>
#define piii pair<pii, int>
#define pdd pair<double, double>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "
";
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
//head

const int N = 305;
const int MOD = 998244353;
bitset<N> a[N]; 
vector<bitset<N>> base;
LL q_pow(LL n, LL k) {
    LL res = 1;
    while(k) {
        if(k&1) res = (res*n) % MOD;
        k >>= 1;
        n = (n*n) % MOD; 
    }
    return res;
}
int main() {
    int n, m, t;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        a[i].reset();
        for (int j = m-1; j >= 0; --j) {
            scanf("%d", &t);
            if(t) a[i].flip(j);
        }
    }
     for (int i = 0; i < n; i++) {
         for (bitset<N> b : base) {
             bitset<N> bb = b^a[i];
             for (int j = m-1; j >= 0; j--) {
                 if(bb[j] < a[i][j]) {
                     a[i] = bb;
                    break;
                }
                else if(bb[j] > a[i][j]) break;
            }
         }    
         if(a[i].any()) base.pb(a[i]);
    }
    int cnt = (int)base.size();
    printf("%lld
", ((q_pow(2, n+m-1) - q_pow(2, n+m-1-cnt)) % MOD+ MOD) % MOD);
    return 0;
}