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47：礼物的最大价值
题目：
在一个m*n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向左或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物，请计算你最多能拿多少价值的礼物？
解答：
1. 利用循环的动态规划实现，使用辅助二维数组
定义f(i,j)表示到达坐标为(i,j)的格子时能拿到的礼物总和的最大值；
有两种路径到达(i,j)：（i-1,j）或者（i,j-1）；
f(i,j) = max(f(i-1,j), f(i,j-1)) + gift[i,j]；
使用循环来计算避免重复子问题。
class Solution
{
public:
int getMaxValue_solution(const int* values, int rows, int cols) {
if (values == nullptr || rows <= 0 || cols <= 0)
return 0;
int** maxValues = new int*[rows]; //开辟一个矩阵存储每个坐标点的礼物最大值
for (int i = 0; i < rows; ++i)
maxValues[i] = new int[cols];
for (int i = 0; i < rows; ++i) {
for (int j = 0; j < cols; ++j) {
int left = 0;
int up = 0;
if (i > 0)
up = maxValues[i - 1][j];
if (j > 0)
left = maxValues[i][j - 1];
maxValues[i][j] = std::max(left, up) + values[i*cols + j];
}
}
int maxValue = maxValues[rows - 1][cols - 1];
for (int i = 0; i < rows; ++i)
delete[] maxValues[i];
delete[] maxValues;
return maxValue;
}
};
2. 优化空间复杂度，使用一维数组
题目中可知，坐标(i,j)的最大礼物价值仅仅取决于坐标为(i-1,j)和(i,j-1)两个格子；
因此第i-2行以上的最大价值没有必要保存下来。
使用一维数组保存：(0,0)…(0,j-1)保存的是(i,0)…(i,j-1)的最大价值；(0,j)…(0,cols-1)保存的是(i-1,j)…(i-1,cols-1)的最大价值。
每次计算新的(i,j)时，使用数组下标j-1和j的最大值加当前礼物值即可。
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(i,j)
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class Solution {
public:
int getMaxValue_solution(const int* values, int rows, int cols) {
if (values == nullptr || rows <= 0 || cols <= 0)
return 0;
int* maxValues = new int[cols]; //开辟一个一维数组即可,a[i][j]上的最大值存与maxValues[j]中
for (int i = 0; i < rows; ++i) {
for (int j = 0; j < cols; ++j) {
int left = 0;
int up = 0;
if (i > 0)
up = maxValues[j];
if (j > 0)
left = maxValues[j - 1];
maxValues[j] = std::max(left, up) + values[i*cols + j];
}
}
int maxValue = maxValues[cols - 1];
delete[] maxValues;
return maxValue;
}
};