Manacher算法

最近发生了很多事。博客本来准备用自己搭（想要看的可以访问www.wilverain.com）的，后来发现不管是wordpress还是hexo都不是很喜欢，于是就又回到csdn了。等以后成为全栈再自己写一个吧（划掉

最近开始刷hihocoder里面的题目了，就是跟着hiho一下里面来做，预期是每天做一题。毕竟已经是退役狗了。所以对于每一个hihocoder应该都会写一个博客来记录自己的思路或者学习的过程。

嘛回到正题。

提到最长回文子串，最简单的思路，就是暴力枚举每一个子串，然后判断该子串是否是回文串，但是这样的效率，仅枚举每一个子串就已经达到了O(n^2)，在加上判断是否是回文串，其复杂度已经达到O(n^3)，这样的效率是非常不可取的。

那么就有了相应的优化，对于每一个回文串，其关于对称中心应该是对称的，那么对于一个字符串，只需要枚举每一个对称中心，即可查找到该对称中心的最常回文子串。时间复杂度为O(n^2)

而Manacher算法更加高效，它能够在O(n)的时间复杂度下找到最长回文字串。

首先介绍下Manacher算法需要用到的数据结构吧。

1.p数组，p[i]表示以i为对称中心所能扩展到的最远的长度，包括str[i]

2.mx，表示在i之前的所有以j(j < i)为对称中心的回文串所能扩展到的最远的距离

3.id，表示当最远距离为mx时，其对称中心为id

数据结构主要就这些，我们用例子来说明Manacher算法吧。如abbacdca

首先，因为最长回文字串可以是奇数长度也可以是偶数长度，而这个过程却经常需要去判断，所以为了避免这个过程，我们将待求的串都变成奇数长度的串。即，在两个字符之间添加'#'字符(也可以是别的字符，只要是原串未出现的字符均可以)，那么可以得到新的串：#a#b#b#a#c#d#c#a#。当然也可以再将这个字符串扩展一下，以避免在计算的过程中出现需要判断是否越界的情况。（这里在代码中体现）

得到了这个字符串之后，先去判断mx与当前的i的关系。如果mx <= i，那么我们对于p[i]无能为力，无法直接得到p[i]的准确值，所以将p[i]赋值为1；如果mx > i，那么又有两种情况。

因为mx > i的，那么很明显，以id为对称中心的回文串包含了i，那么其对称点就为j = 2 * id - i;

第一种情况，以j为对称中心的回文子串完全包含于以id为对称中心的回文子串，那么显然我们可以得到p[i] = p[j]

第二种情况，以j为对称中心的回文子串并没有完全包含于以id为对称中心的回文子串，这个时候，p[i] >= mx - i;利用回文串对称的原理很容易得到这个结果。

将这两种情况合并，于是我们可以得到p[i] >= min(mx - i, p[2 * id - i]);

根据这两种情况，我们来计算下刚刚得到的新串的每个元素的p[i]值

# a # b # b # a # c # d # c # a #

1 2 1 2 4 2 1 2 1 2 1 6 1 2 1 2 1

根据我们的观察可以发现，abbaacdca这个字符串的最长回文子串长度显然是5，于是我们可以得到一个结论，max(p[i]) - 1就是最长回文子串的长度。

于是就求出了这个过程。

以下是Manacher的代码：

public static int Manacher( String str ) {
	int cur = 0, ans = 0, len = str.length();
	char[] tmp = new char[2 * len + 1];
		
	tmp[cur++] = '#';
	for( int i = 0; i < len; ++i ) {
		tmp[cur++] = str.charAt(i);
		tmp[cur++] = '#';
	}
	
	int mx = 0, id = 0;
	int[] p = new int[ cur ];
		
	for( int i = 0; i < cur; ++i ) {
		p[i] = (mx > i ? Math.min( p[2 * id - i] , mx - i) : 1);
		while( ( i + p[i] < cur && (i - p[i] >= 0)) && (tmp[i + p[i]] == tmp[i - p[i]]) ) ++p[i];
		if( i + p[i] > mx ) {
			mx = i + p[i];
			id = i;
		}
		ans = Math.max(ans,  p[i] - 1);
	}
	return ans;
}

附上hihocoder-1032-最长回文子串的ac代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;

public class Main {
	public static int Manacher( String str ) {
		int cur = 0, ans = 0, len = str.length();
		char[] tmp = new char[2 * len + 1];
		
		tmp[cur++] = '#';
		for( int i = 0; i < len; ++i ) {
			tmp[cur++] = str.charAt(i);
			tmp[cur++] = '#';
		}
		
		int mx = 0, id = 0;
		int[] p = new int[ cur ];
		
		for( int i = 0; i < cur; ++i ) {
			p[i] = (mx > i ? Math.min( p[2 * id - i] , mx - i) : 1);
			while( ( i + p[i] < cur && (i - p[i] >= 0)) && (tmp[i + p[i]] == tmp[i - p[i]]) ) ++p[i];
			if( i + p[i] > mx ) {
				mx = i + p[i];
				id = i;
			}
			ans = Math.max(ans,  p[i] - 1);
		}
		return ans;
	}
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		// TODO Auto-generated method stub
		BufferedReader reader = new BufferedReader( new InputStreamReader( System.in ), 1 << 16 );
		BufferedWriter writer = new BufferedWriter( new OutputStreamWriter( System.out ), 1 << 16 );
		
		int n = Integer.parseInt(reader.readLine());
		for ( int i = 0; i < n; ++i ) {
			String str = reader.readLine();
			int ans = Manacher(str);
			writer.write(ans + "
");
			writer.flush();
		}
	}
}