有环单链表

      单链表中可能存在环， 那么如何判断单链表中是否有环呢？若单链表中存在环，怎么样确定环的位置？

      如果一个单链表中存在环，在遍历链表时，一旦进入环，就开始循环遍历环上的节点。如果只用一个指针来遍历单链表，我们无法判断单链表中是否存在环。用两个指针就可以完成这个任务。

      设有两个指针p1,p2。初始时p1和p2均指向链表的第一个节点。在遍历过程中，p1总是移向下一个节点（向前移动1步），同时p2总是指向下一个节点的后继节点（向前移动两步）。如果单链表中存在环，p2在遍历过程中一定会与p1指向同一个节点（这是一个相遇问题，p2的速度是p1的两倍，它们一定会在环上相遇）；否则在遍历过程中p2不可能与p1相遇。

      图1中展示了一个有环单链表。环外有 n1 个节点，环上有 n2 个节点，环的入口节点是 x 。设 p2 和 p1 在 y 节点处相遇。将环上的节点从环的入口开始沿着链表编号，编号为1, 2, …, n2。 设 y 节点的编号为 n3 。则有：

2 *（n1 + k1 * n2 + n3）= n1 + k2 * n2 + n3

      其中k1，k2分别是在相遇之前p1，p2各自遍历环的次数。

      令 k = k2 - 2 * k1， k >= 1。于是，

n1 = k * n2 – n3 = (k - 1) * n2 + n2 – n3

      这就暗示了，如果令p1指向链表的第一个节点，p2指向y节点，p1和p2每次移向下一个节点遍历链表，它们会在x节点处相遇，即找到了环的入口。                                              

　　　　　　                                         　　　　  

图 1  有环单链表

 

      利用数组next[]来表示链表，节点从0开始编号，next[i]代表i节点的下一个节点，-1标识链表的结尾。例如数组{1， 2， 3， 4， 5， -1}表示链表 0->1->2->3->4->5->-1，这个链表中没有环。数组 {1， 2， 3， 4， 5， 6， 4} 表示链表 0->1->2->4->5->6->4,是一个有环的单链表。下面是找出链表中环的位置算法的C语言实现：

#include <stdio.h>

int find_circle(int next[], int n) {
    int p1 = 0, p2 = 0;
    do {
        p1 = next[p1];
        if (p2 != -1 && next[p2] != -1) {
            p2 = next[next[p2]];
        } else {
            return -1;
        }
    } while (p1 != p2);
    p1 = 0;
    do {
        p1 = next[p1];
        p2 = next[p2];
    } while (p1 != p2);
    return p1;
}

int main() {
    // 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 4
    int next[7] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 4}; 
    int node = find_circle(next, sizeof(next) / sizeof(int));
    if (node != -1) {
        printf("%d
", node);
    } else {
        printf("no circle
");
    }
    return 0;
}

       这个算法可应用到另一个问题上。 问题描述如下：

       有 n 个整数， 这些整数的取值范围为 [1， n-1]， 由鸽巢原理可知至少有一个整数出现了两次。 要求找到一个（只一个）重复出现的数字。

       如 {1， 3， 2， 4， 5， 4} 中的 4 和{1， 2， 3， 3， 2}中的 2， 3 均为重复出现的数字。

       我们利用find_circle解决这个问题基于这样一个观察，就是一个满足题目条件的数组可以看做多个循环单链表， 这些链表之间可能有公共节点， 我们从任何一个节点开始遍历链表都可以找到一个环。 从0节点开始遍历，环的入口就是一个重复出现的数字； 从其他节点开始遍历则不一定能够找到重复数字。（想一想，为什么？）

       如 {1， 3， 2， 4， 5， 4} 可以看做两个链表 0->1->3->4->5->4, 2->2 

       如 {1， 2， 3， 3， 2} 可以看做是 0->1->2->3->3, 4->2->3->3