最近在研究热力图，发现了一篇可能有用的Python模拟疫情扩散的文章，可以部分模拟热力图，整篇文章原文内容如下：
瘟疫蔓延，连芬兰都难以幸免
受杰森的《Almost Looks Like Work》启发，我来展示一些病毒传播模型。需要注意的是这个模型并不反映现实情况，因此不要误以为是西非可怕的传染病。相反，它更应该被看做是某种虚构的僵尸爆发现象。那么，让我们进入主题。
这就是SIR模型，其中字母S、I和R反映的是在僵尸疫情中，个体可能处于的不同状态。
- S 代表易感群体，即健康个体中潜在的可能转变的数量。
- I 代表染病群体，即僵尸数量。
- R 代表移除量，即因死亡而退出游戏的僵尸数量，或者感染后又转回人类的数量。但对与僵尸不存在治愈者，所以我们就不要自我愚弄了（如果要把SIR模型应用到流感传染中，还是有治愈者的）。
至于β(beta)和γ(gamma):
- β(beta)表示疾病的传染性程度，只要被咬就会感染。
- γ(gamma)表示从僵尸走向死亡的速率，取决于僵尸猎人的平均工作速率，当然，这不是一个完美的模型，请对我保持耐心。
S′=−βIS告诉我们健康者变成僵尸的速率，S′是对时间的导数。
I′=βIS−γI告诉我们感染者是如何增加的，以及行尸进入移除态速率（双关语）。
R′=γI只是加上(gamma I)，这一项在前面的等式中是负的。
上面的模型没有考虑S/I/R的空间分布，下面来修正一下！
一种方法是把瑞典和北欧国家分割成网格，每个单元可以感染邻近单元，描述如下：
其中对于单元
，
和
是它周围的四个单元。（不要因为对角单元而脑疲劳，我们需要我们的大脑不被吃掉）。
初始化一些需要的库以及数据
1 import numpy as np 2 import math 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 5 from matplotlib import rcParams 6 import matplotlib.image as mpimg 7 rcParams['font.family'] = 'serif' 8 rcParams['font.size'] = 16 9 rcParams['figure.figsize'] = 12, 8 10 from PIL import Image
适当的beta和gamma值就能够摧毁大半江山
1 beta = 0.010 2 gamma = 1
还记得导数的定义么？当导数已知，假设Δt很小的情况下，经过重新整理，它可以用来近似预测函数的下一个取值，我们已经声明过u′(t)。
回想前面：
我们把函数(u(t +△t))在下一个时间步记为
，
表示当前时间步。
这种方法叫做欧拉法，代码如下：
1 def euler_step(u, f, dt): 2 return u + dt * f(u)
我们需要函数f(u)。友好的numpy提供了简洁的数组操作。我可能会在另一篇文章中回顾它，因为它们太强大了，需要更多的解释，但现在这样就能达到效果：
1 def f(u): 2 S = u[0] 3 I = u[1] 4 R = u[2] 5 6 new = np.array([-beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + 7 S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + 8 S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + 9 S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + 10 S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]), 11 beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + 12 S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + 13 S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + 14 S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + 15 S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]) - gamma*I[1:-1, 1:-1], 16 gamma*I[1:-1, 1:-1] 17 ]) 18 19 padding = np.zeros_like(u) 20 padding[:,1:-1,1:-1] = new 21 padding[0][padding[0] < 0] = 0 22 padding[0][padding[0] > 255] = 255 23 padding[1][padding[1] < 0] = 0 24 padding[1][padding[1] > 255] = 255 25 padding[2][padding[2] < 0] = 0 26 padding[2][padding[2] > 255] = 255 27 28 return padding
导入北欧国家的人口密度图并进行下采样，以便较快地得到结果
1 from PIL import Image 2 img = Image.open('popdens2.png') 3 img = img.resize((img.size[0]/2,img.size[1]/2)) 4 img = 255 - np.asarray(img) 5 imgplot = plt.imshow(img) 6 imgplot.set_interpolation('nearest')
北欧国家的人口密度图（未包含丹麦）
S矩阵，也就是易感个体，应该近似于人口密度。感染者初始值是0，我们把斯德哥尔摩作为第一感染源。
1 S_0 = img[:,:,1] 2 I_0 = np.zeros_like(S_0) 3 I_0[309,170] = 1 # patient zero
因为还没人死亡，所以把矩阵也置为0.
1 R_0 = np.zeros_like(S_0)
接着初始化模拟时长等。
1 T = 900 # final time 2 dt = 1 # time increment 3 N = int(T/dt) + 1 # number of time-steps 4 t = np.linspace(0.0, T, N) # time discretization 5 6 # initialize the array containing the solution for each time-step 7 u = np.empty((N, 3, S_0.shape[0], S_0.shape[1])) 8 u[0][0] = S_0 9 u[0][1] = I_0 10 u[0][2] = R_0
我们需要自定义一个颜色表，这样才能将感染矩阵显示在地图上。
1 import matplotlib.cm as cm 2 theCM = cm.get_cmap("Reds") 3 theCM._init() 4 alphas = np.abs(np.linspace(0, 1, theCM.N)) 5 theCM._lut[:-3,-1] = alphas
下面坐下来欣赏吧…
1 for n in range(N-1): 2 u[n+1] = euler_step(u[n], f, dt)
让我们再做一下图像渲染，把它做成gif，每个人都喜欢gifs！
1 from images2gif import writeGif 2 3 keyFrames = [] 4 frames = 60.0 5 6 for i in range(0, N-1, int(N/frames)): 7 imgplot = plt.imshow(img, vmin=0, vmax=255) 8 imgplot.set_interpolation("nearest") 9 imgplot = plt.imshow(u[i][1], vmin=0, cmap=theCM) 10 imgplot.set_interpolation("nearest") 11 filename = "outbreak" + str(i) + ".png" 12 plt.savefig(filename) 13 keyFrames.append(filename) 14 15 images = [Image.open(fn) for fn in keyFrames] 16 gifFilename = "outbreak.gif" 17 writeGif(gifFilename, images, duration=0.3) 18 plt.clf()
瘟疫蔓延的gif图，连芬兰都难以幸免
看，唯一安全的地方是人口密度不太高的北部地区，动画中连芬兰最后都被感染了，现在你明白了吧。
如果你想了解更多微分方程的求解，温馨向您推荐LorenaABarba 的实用数值方法的Python实现课程，你可以从中学习所有实数的数值求解方法，而不是本文中简单的这种。
更新：你可以在这里找到Ipython版本的笔记。
实际运行上面的例子的代码是存在问题的，往往会编译不通过，下面是经过调整后的代码例子，可以正常运行：
上图是代码需要的图片popdens2.png
具体的代码：
import numpy as np import math import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib import rcParams import matplotlib.image as mpimg rcParams['font.family'] = 'serif' rcParams['font.size'] = 16 rcParams['figure.figsize'] = 12, 8 from PIL import Image beta = 0.010 gamma = 1 def euler_step(u, f, dt): return u + dt * f(u) def f(u): S = u[0] I = u[1] R = u[2] new = np.array([-beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]), beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]) - gamma*I[1:-1, 1:-1], gamma*I[1:-1, 1:-1] ]) padding = np.zeros_like(u) padding[:,1:-1,1:-1] = new padding[0][padding[0] < 0] = 0 padding[0][padding[0] > 255] = 255 padding[1][padding[1] < 0] = 0 padding[1][padding[1] > 255] = 255 padding[2][padding[2] < 0] = 0 padding[2][padding[2] > 255] = 255 return padding from PIL import Image img = Image.open('popdens2.png') img = img.resize((img.size[0]/2,img.size[1]/2)) img = 255 - np.asarray(img) imgplot = plt.imshow(img) imgplot.set_interpolation('nearest') S_0 = img[:,:,1] I_0 = np.zeros_like(S_0) I_0[309,170] = 1 # patient zero R_0 = np.zeros_like(S_0) T = 900 # final time dt = 1 # time increment N = int(T/dt) + 1 # number of time-steps t = np.linspace(0.0, T, N) # time discretization # initialize the array containing the solution for each time-step u = np.empty((N, 3, S_0.shape[0], S_0.shape[1])) u[0][0] = S_0 u[0][1] = I_0 u[0][2] = R_0 import matplotlib.cm as cm theCM = cm.get_cmap("Reds") theCM._init() alphas = np.abs(np.linspace(0, 1, theCM.N)) theCM._lut[:-3,-1] = alphas for n in range(N-1): u[n+1] = euler_step(u[n], f, dt) keyFrames = [] frames = 60.0 for i in range(0, N-1, int(N/frames)): imgplot = plt.imshow(img, vmin=0, vmax=255) imgplot.set_interpolation("nearest") imgplot = plt.imshow(u[i][1], vmin=0, cmap=theCM) imgplot.set_interpolation("nearest") filename = "outbreak" + str(i) + ".png" plt.savefig(filename) keyFrames.append(filename) import imageio def create_gif(image_list, gif_name,gif_duration=0.1): frames = [] for image_name in image_list: frames.append(imageio.imread(image_name)) # Save them as frames into a gif imageio.mimsave(gif_name, frames, 'GIF', duration = gif_duration) image_list=keyFrames gif_name = 'zombie.gif' create_gif(image_list, gif_name,gif_duration=0.3) plt.clf()