算法导论9.33

题目：

假定元素的值不同，说明如何才能使快速排序在最坏情况下以O(nlgn)时间运行

思考：

要改善最坏情况的下运行时间，就要从划分入手，保证即使是最坏情况，也要尽量均衡地划分。

因此，使用SELECT找到中值，再以这个中值为主元进行划分

代码：

1.以RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法

//9.3-3-使用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值算法
#include <iostream>
using namespace std;

//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
int Randomized_Partition(int *A, int p, int r)
{
    //随机选择数组中一个数作为主元
    int i = rand() % (r-p+1) + p;
    swap(A[r], A[i]);
    //划分
    return Partition(A, p, r);
}
//i是从1开会计数的，不是从p开始
int Randomized_Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    if(p == r)
        return A[p];
    //以某个元素为主元，把数组分为两组，A[p..q] <= 主元 < A[q+1..r]，返回主元在整个数组中的位置
    int q = Randomized_Partition(A, p, r);
    //主元是整个数组中的第q个元素，是A[p..r]数组中的第k个元素
    int k = q - p + 1;
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)//所求元素<=主元，则在A[p..q-1]中继续寻找
        return Randomized_Select(A, p, q-1, i);
    else//所求元素>主元，则在A[q+1..r]中继续寻找
        return Randomized_Select(A, q+1, r, i-k);
}

void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
    if(p >= r)
        return ;
    //用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值
    int i = (r - p + 1) / 2;
    int x = Randomized_Select(A, p, r, i);
    //以这个中值为主元进行划分
    int q = Partition2(A, p, r, x);
    //分别对划分后的前后两个部分进行排序
    QuickSort(A, p, q-1);
    QuickSort(A, q+1, r);
}
int main()
{
    int length_A, i;
    cin>>length_A;
    //生成随机数据
    int *A = new int[length_A+1];
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        A[i] = rand() % 100;
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
    //排序
    QuickSort(A, 1, length_A);
    //输出结果
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
    delete []A;
    return 0;
}

运行结果：

2.以最坏情况下线性时间作为选择中值的算法

//9.3-3使用最坏情况线性时间算法作为选择中值算法
#include <iostream>
using namespace std;

//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= end; i++)
    {
        int t = A[i];
        for(j = i; j >= start; j--)
        {
            if(j == start)
                A[j] = t;
            else if(A[j-1] > t)
                A[j] = A[j-1];
            else
            {
                A[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
    int i, j = 0;
    int start, end, len = r - p + 1;
    int *B = new int[len/5+1];
    //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    for(i = 1; i <= len; i++)
    {
        if(i % 5 == 1)
            start = i+p-1;
        if(i % 5 == 0 || i == len)
        {
            j++;
            end = i+p-1;
            //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
            int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
            //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
            B[j] = ret;    
        }
    }
    //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    //delete []B;
    return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    //如果数组中只有一个元素，则直接返回
    if(p == r)
        return A[p];
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int f = Find(A, p, r);
    //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    int q = Partition2(A, p, r, f);
    //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    int k = q - p + 1;
    //与所寻找的元素相比较
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)
        return Select(A, p, q-1, i);
    else
        //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
        return Select(A, q+1, r, i-k);
        //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}

void QuickSort(int *A, int p, int r)
{
    if(p >= r)
        return ;
    //用RANDOMIZED-SELECT作为选择中值的算法选择中值
    int i = (r - p + 1) / 2;
    int x = Select(A, p, r, i);
    //以这个中值为主元进行划分
    int q = Partition2(A, p, r, x);
    //分别对划分后的前后两个部分进行排序
    QuickSort(A, p, q-1);
    QuickSort(A, q+1, r);
}

int main()
{
    int length_A, i;
    cin>>length_A;
    //生成随机数据
    int *A = new int[length_A+1];
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        A[i] = rand() % 100;
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
    //排序
    QuickSort(A, 1, length_A);
    //输出结果
    for(i = 1; i <= length_A; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
    delete []A;
    return 0;
}

运行结果：