一、题目
设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数，给出一个求数组X和数组Y中所有2n个元素的中位数的O(lgn)时间的算法
二、思路
递归求解该问题，解题规模不断减半，最后剩下4个元素时，得到问题的解，
本文求的是下中位数，下中位数的特点是：
（1）当n为奇数，令n = 2 * m + 1，下中位数是第m+1小的数，数组中有m个数小于下中位数，有m个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m+1个数比x大b.到少有m+1个数比x小
（2）当n为偶数，令n = 2 * m，下中位数是第m+1小的数，数组中有个m个数小于下中位数，有m-1个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：a.至少有m个数比x大b.到少有m+1个数比x小
令Na为数组A中元素的个数，Nb为数组B中元素的个数，Ma是数组A中的下中位数，数组Mb是B中的下中位数，a=Na/2，b=Nb/2 。它们满足以下关系
（1）Na和Nb初始时相等，经过对数组的处理后，依然相等，奇偶性相同，同理a和b也始终相等
（2）Ma和Mb的大小不确定，本文例举了Ma>Mb的处理方法
可以把问题分为以下两种情况：
（1）Na和Nb都是偶数，令Na=2*a，Nb=2*b，a=b，Ma>Mb（初始情况）
分析：
在数组A中有a个数字小于Ma，有a-1个数字大于Ma
在数组B中有b个数字小于Mb，有b-1个数字大于Mb
Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma
=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b-1个数字大于Mb
=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（不包括Mb）的数字都不是中位数
=====>A[1..Na] -> A[1..a+1]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]
（2）Na和Nb都是偶数，令Na=2*a+1，Nb=2*b+1，a=b，Ma>Mb（初始情况）
分析：
在数组A中有a个数字小于Ma，有a个数字大于Ma
在数组B中有b个数字小于Mb，有b个数字大于Mb
Ma>Mb =====> 大于Ma的数字都大于Mb，小于Mb的数字都小于Ma
=====> A和B中至少有a+b+1个数字小于Ma，至少有a+b+1个数字大于Mb
=====>所有大于Ma（不包括Ma）的数字都不是中位数，所有小于Mb（包括Mb）的数字都不是中位数
=====>A[1..Na] -> A[1..a+1]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]
经过上文中的分析，最终算法过程如下：
Step1：分别求出两个数组的中值midA和midB，比较midA和midB的大小
Step2：如果midA=midB，那么这个值就是这（nA+nB）个数中的中位数
Step3：如果midA < midB，A[1..Na] -> A[a+1..Na]，B[1..Nb] -> B[1..b]，递归地对两个新的数组求中位数。
Step4：如果midA > midB，A[1..Na] -> A[1..a]，B[1..Nb] -> B[b+1..Nb]，递归地对两个新的数组求中位数。
Step5：反复Step1-Step4中的递归操作，直到两个数组剩下的元素一共不超过4个，直接对这4个元素求中位数。
三、代码
(1)初始数据无序版本
//9.3-8 #include <iostream> using namespace std; void Print(int *A, int s, int e) { int i; for(i = s; i <= e; i++) cout<<A[i]<<' '; cout<<endl; } //最坏情况线性时间的选择 //已经出现很多次了，不解释 int Partition(int *A, int p, int r) { int x = A[r], i = p-1, j; for(j = p; j < r; j++) { if(A[j] <= x) { i++; swap(A[i], A[j]); } } swap(A[i+1], A[r]); return i+1; } int Select(int *A, int p, int r, int i); //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值 //插入排序很简单，不解释 int Insert(int *A, int start, int end, int k) { int i, j; for(i = 2; i <= end; i++) { int t = A[i]; for(j = i; j >= start; j--) { if(j == start) A[j] = t; else if(A[j-1] > t) A[j] = A[j-1]; else { A[j] = t; break; } } } return A[start+k-1]; } //根据文中的算法，找到中值的中值 int Find(int *A, int p, int r) { int i, j = 0; int start, end, len = r - p + 1; int *B = new int[len/5+1]; //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值 for(i = 1; i <= len; i++) { if(i % 5 == 1) start = i+p-1; if(i % 5 == 0 || i == len) { j++; end = i+p-1; //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5 int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1); //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组 B[j] = ret; } } //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值 int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2); //delete []B; return ret; } //以f为主元的划分 int Partition2(int *A, int p, int r, int f) { int i; //找到f的位置并让它与A[r]交换 for(i = p; i < r; i++) { if(A[i] == f) { swap(A[i], A[r]); break; } } return Partition(A, p, r); } //寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始 int Select(int *A, int p, int r, int i) { //如果数组中只有一个元素，则直接返回 if(p == r) return A[p]; //根据文中的算法，找到中值的中值 int f = Find(A, p, r); //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置 //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r] int q = Partition2(A, p, r, f); //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置 int k = q - p + 1; //与所寻找的元素相比较 if(i == k) return A[q]; else if(i < k) return Select(A, p, q-1, i); else //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写 return Select(A, q+1, r, i-k); //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1) } int SelectMid(int *A, int start, int end) { return Select(A, start, end, (end-start+1)/2+1); } //返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d int GetRet(int a, int b, int c, int d) { if(a < c) { if(c < b) return min(b, d); return c; } else { if(a < d) return min(b, d); return a; } } //算法过程 int solve(int *A, int *B, int n) { int ret; int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n; while(1) { if(endA == startA) return max(A[startA], B[startB]); //如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素 if(endA - startA == 1) { ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]); break; } //分别求得A和B中的中值，这里处理的情况是A和B不是排序的 //如果A和B是已经排序的，只需mid=A[(start+end)/2]就可以求得中值 int midA = SelectMid(A, startA, endA); int midB = SelectMid(B, startB, endB); // cout<<midA<<' '<<midB<<endl; // Print(A, startA, endA); // Print(B, startB, endB); //SELECT算法包含划分的过程，所以可以直接截去不需要一半 //去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等 if(midA == midB) { ret = midA; break; } //去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等 else if(midA < midB) { startA = startA + (endA - startA + 1) / 2; endB = endB - (endB - startB + 1) / 2; } //去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等 else { endA = endA - (endA-startA + 1) / 2; startB = startB + (endB - startB + 1) / 2; } // Print(A, startA, endA); // Print(B, startB, endB); } return ret; } //测试算法过程 int main() { int n, i; while(cin>>n) { int *A = new int[n+1]; int *B = new int[n+1]; //生成随机数据 for(i = 1; i <= n; i++) { A[i] = rand() % 100; B[i] = rand() % 100; } //打印生成的数据 Print(A, 1, n); Print(B, 1, n); //算法过程 int ret = solve(A, B, n); //输出结果 cout<<ret<<endl; delete A; delete B; } return 0; }
（2）初始数据有序版本
//9.3-8 #include <iostream> using namespace std; #include <algorithm> bool cmp(int a, int b) { return a < b; } void Print(int *A, int s, int e) { int i; for(i = s; i <= e; i++) cout<<A[i]<<' '; cout<<endl; } //返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d int GetRet(int a, int b, int c, int d) { if(a < c) return min(b, c); else return min(a, d); } int main() { while(1) { int n, i; cin>>n; int *A = new int[n+1]; int *B = new int[n+1]; //生成随机数据 for(i = 1; i <= n; i++) { A[i] = rand() % 100; B[i] = rand() % 100; } for(i = 1; i <= n; i++) { // cin>>A[i]; } for(i = 1; i <= n; i++) { // cin>>B[i]; } sort(A+1, A+n+1, cmp); sort(B+1, B+n+1, cmp); //打印生成的数据 Print(A, 1, n); Print(B, 1, n); int ret; int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n; while(1) { //如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素 if(endA - startA == 1) { ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]); break; } //分别求得A和B中的中值 int midA = A[(startA+endA)/2]; int midB = B[(startB+endB)/2]; // cout<<midA<<' '<<midB<<endl; // Print(A, startA, endA); // Print(B, startB, endB); //去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等 if(midA == midB) { ret = midA; break; } //去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等 else if(midA < midB) { startA = (startA + endA) / 2; endB = endB - (endB-startB) / 2; } //去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等 else { endA = endA - (endA-startA) / 2; startB = (startB + endB) / 2; } // Print(A, startA, endA); // Print(B, startB, endB); } //输出结果 cout<<ret<<endl; } // getchar(); // getchar(); return 0; }
四、测试
