codeforces C. Vasily the Bear and Sequence 解题报告

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/336/C

题目意思：给出一个递增的正整数序列 a₁, a₂, ..., a_n，要求从中选出一堆数b₁, b₂, ..., b_k，这堆数进行完按位&运算之后（b₁ and b₂ and ... and b_k），能被2^v整除。除此，还要求所选中的这堆数是两两不同的，&之后要最大，换句话来说，v 要尽可能最大，如果找到最大的v的方法有多种，即在 a₁, a₂, ..., a_n 中有很多种不同的组合 & 完后能求得最大的v，则挑中的这堆数要尽可能最多。如果得到最多的数还是有多种，只需要写出其中一种即可，如果没找到符合条件的v，则输出-1。

       这道题目想了4天多，看来要做出一条综合题的题目真的需要花费很长时间。一开始很天真的以为，暴力从a1往an搜，一个一个&，如果&完之后的结果是0，则置从&中最后运算完的数开始重新初始化。即假设给出序列1 2 3 4 5，1&2之后会等于0，于是不要&前的1，从2开始继续&，2&3......，直到最后一个数&完为止即可。很明显，这是不符合题意的，因为不能保证v最大。

     （例如，给出10个数

         109070199    215498062    361633800    406156967    452258663

         530571268    670482660    704334662    841023955    967424642

       错误的解法会得出  704334662    841023955    967424642， &的结果是

1，0000，0001，0000，1000，0000，1000，0010，v = 1。

       而正确的结果是    361633800    406156967   452258663    530571268   841023955   967424642， &的结果是1，0000，0000，0000，0000，0000，0000，0000，v = 28。）

      看来，&完之后的结果大并不意味着v会更大。关键取决于v的右边的0尽可能最多。

      正确的思路：进行两轮筛选。考虑到 a_n 最大为10⁹ ，且要使v最大，那么应该从v = 31（10⁹ 约为 2^30）开始遍历序列，分别尝试与序列中的每个数相&，如果不为0，代表这个数的第 v 位为1，把这个数先保存下来（第一轮筛选，并不保证是最后的结果）， 接着从这些被筛选出的数中验证哪些符合第 v-1~1 位与一个第 v-1~1 位都为1的数(也就是下面所说的temp) 相&等于0，符合的就代表v是最优的，则为结果。题目的关键是设置一个临时变量temp，其从第1位到第v-1位都是1，每次将满足第v位为1的，与这个变量做&操作。

      能得到这个思路，很谢谢hdu 群的silence，深感位运算的基础没打好啊，要继续努力才行。

      

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 5;
int a[maxn], b[maxn], c[maxn];  // a[]是输入的序列，b[]是第一轮筛选出的数，c[]是第二轮即最后得出符合条件的数

int main()
{
    int i, j, k, l, n, v, temp, flag;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        for (v = 31; v >= 0; v--)
        {
            temp = (1 << v) - 1;  // 关键所在，使得v-1~1位都置为1
        //  printf("tempout = %d\n", temp);
            flag = j = 0;
            for (i = 0; i < n; i++)
            {
                if (a[i] & (1 << v))  // 挑出序列中满足第v位为1的数
                {
            //      printf("a[%d] = %d\n", i, a[i]);
                    b[j++] = a[i];
            //      printf("b[%d] = %d\n", j-1, b[j-1]);
            //      printf("tempin1 = %d\n", temp);
                    temp &= a[i];
        //          printf("tempin2 = %d\n", temp);
                }
            }
            if (j == 0)
                continue;     // 没找到进行下一轮循环
        //  printf("j = %d\n", j);
        //  printf("temp_num = %d\n", temp);
            for (l = k = 0; k < j; k++)
            {
                if (!(temp & b[k]))    // 验证第一轮筛选出的数中是否符合第v-1~1位与temp中相&后是否都为0
                {
                    temp &= b[k];
                    c[l++] = b[k];
            //      printf("c[%d] = %d\n", l-1, c[l-1]);
                }
            }
            if (l == 0)      // l 保存找到的总个数
                continue;
            for (k = 0; k < l; k++)    // 找到一组解，且这个解满足是最优解
            {
                if (k == 0)
                    printf("%d\n%d", l, c[k]);
                else
                    printf(" %d", c[k]);
            }
            printf("\n");
            flag = 1;     // 找到符合条件的v的标志
            break;  
        }
        if (!flag)     // 没有找到
            printf("-1\n");
    }
    return 0;
}