【题解】无畏造八强(双哈+马拉车+根号分治)

【题解】无畏造八强(双哈+马拉车+根号分治)

1814 Clarke and string

题面

无畏造八强(wwzbq)

题目背景

  我亮牌子我抗塔，我和凯南贴脸打。四路经济2800，世界第一吹jb。

题目描述

你有n个字符集为小写字符的字符串$T_i$. 现在有q次询问，每次询问一个$x_i,y_i$ 对于每次询问，你应该求出:$T_,T_$中的公共的本质不同的回文子串个数。 题目会利用一些手段强制在线。

下面是一些可能有用的定义： 回文串：一个串翻转过来仍与其自己相同。 本质相同：对于两个子串，不考虑其在原串中的位置是否相同，只要长度相同并且对应位置字符相同。 本质不同：对于两个子串并不本质相同。

输入格式

第一行是两个整数n 接下来n行,第i行为一个非空字符串$T_i$ 接下来是一行一个整数 接下来q行,第i行有两个非负整数$x_i', y_i'$真正的询问为 (x_i = x_i' igoplus (ans_{i-1})), (y_i = y_i' igoplus (ans_{i-1})) $ans_i$表示第i次询问得到的答案,其中$ans_0 = 0$.保证$1 leq x_i, y_i leq n$. $igoplus$代表按位异或操作，对应c++中的^

输出格式

对于每次询问输出一个整数代表答案。

输入样例1

2 aba aaa 1 1 2

输出样例１

1

子任务

对于$20%(的数据，保证)sum |T_i|,qleq300$ 对于$40%(的数据，保证)sum |T_i|,qleq5000$ 对于另外$20%(的数据,保证)min{|T_|,|T_|}<=100$ 对于另外$20%$的数据，保证$n=3$ 对于$100%(的数据，)sum |T_i|<=10^5$

(sol)

正如标题所说的那样，双哈+马拉车+根号分治...

这题的大致思路是：对于字符串哈希，马拉车预处理所有本质不同的回文子串，哈希塞到set里面，然后根据$sum |T_i|<=10^5$进行根号分治...

其实不用回文树有点假？因为这道题字符集是$26$，加上马拉车要用的$1$都到了$27$，然而双哈希最多存$x^{2=19260817 imes19491001$种的不同的字符串，然而字符串可能的集合都到了至少$26}{10000}$...或许这就是哈希吧...

结论1:一个串本质不同的回文子串个数是$O(n)$的

证明：假设在原有的串最后面加上一个字符c，这个字符会造成的贡献一定是以c为结尾的回文串，然而c最多产生一个新的回文串，这个回文串就是是以c的最长那个的回文串。为什么一定是最长的那个回文串？因为这个最长的回文串S一定包含了那些比S短的小回文串，这些回文串小${a}(由于被包括在S中，所以一定根据回文串的对称性，小){a}$一定在在S串中，出现了至少两次。

结论2:本质不同的回文子串一定是以某个点结尾的最长的那个回文串

证明：根据结论一和数学归纳法可以得出。

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到了这一步，我们就把问题变为了:对于一个集群${S},sum |S_i|le10^{5$，有$qle 10}5$组询问，问$|S_icap S_j | $的大小。

对于一组询问，我们可以枚举较小的那个集合，然后在较大的那个集合里查询是否存在，然后把答案备用...你以为这只是常数优化，其实你复杂度就突然对了。

结论3:本质不同的询问最多造成本质不同$O(nsqrt n)(种枚举(忽略那个)log$和$q$)

考虑$|S|ge sqrt n$的集合个数$le sqrt n $个...这很应该显然吧？

• 假设查询中有一个小于$sqrt n$的集合，枚举它，那么复杂度就是$O(sqrt n)$了。

• 假设询问的两个都是大于等于$sqrt n$的怎么办？那么考虑大于$sqrt n$的集合，它，这些集合大小加起来是$O(n)$的，但是由于$size > sqrt n$的集合只有$sqrt n$个，那么对于它来说，最多只有$sqrt n$次查询，那么就是$O(n sqrt n)$了。

本质上是确定一个按数据范围分做法的临界，使得两种做法的最坏复杂度一样，往往此时也是渐进意义下的最优解。

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你直接拿$map$存一下询问，然后记忆化一下就好了。

其实代码调了很久，这是带注释版本

没带注释版本，记得开C++11

//@winlere https://paste.ubuntu.com/p/x6fqZWBDdp/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>

using namespace std;  typedef long long ll;

inline int qr(){register int ret=0,f=0;register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;}
const int maxn=1e5+5;
const int seed1=233;
const int seed2=439;
const int mod1=19260817;
const int mod2=19491007;
const char c1='z'+1;
const char c2='z'+2;

int n,q,ans;
int p[maxn<<1];
int lef[maxn<<1];
int ha1[maxn<<1];
int ha2[maxn<<1];
int sav1[maxn<<1];
int sav2[maxn<<1];

map < pair < int , int > , int > que;
multiset < pair < int , int > > s[maxn];

inline int ksm(int base,const int&p,const int&mod){
      register int ret=1;
      for(register int t=p;t;t>>=1,base=1ll*base*base%mod)
	    if(t&1) ret=1ll*ret*base%mod;
      return ret;
}

inline pair < int , int > get_ha(const int&l,const int&r){
      return make_pair((ha1[r]-1ll*ha1[l-1]*sav1[r-l+1]%mod1+mod1)%mod1,(ha2[r]-1ll*ha2[l-1]*sav2[r-l+1]%mod2+mod2)%mod2);
}

inline int Min(const int&a,const int&b){
      if(a<b) return a;
      return b;
}

inline void find_pam(const int&num){
      auto&S=s[num];
      string now;
      
      now.push_back(c1);
      register char c=getchar();
      while(c<'a'||c>'z') c=getchar();
      while(c>='a'&&c<='z') now.push_back(c2),now.push_back(c),c=getchar();
      
      for(register int t=1,edd=now.size()-1;t<=edd;++t){
	    ha1[t]=(1ll*ha1[t-1]*seed1%mod1+now[t]-'a'+1ll)%mod1;
	    ha2[t]=(1ll*ha2[t-1]*seed2%mod2+now[t]-'a'+1ll)%mod2;
      }
      
      for(register int t=1,edd=now.size();t<edd;++t)
	    p[t]=0,lef[t]=0x3f3f3f3f;
      register int mid=0,r=0;
      for(register int t=1,edd=now.size();t<edd;++t){
	    if(t<=r) p[t]=Min(r-t+1,p[(mid<<1)-t]);
	    lef[t+p[t]-1]=Min(lef[t+p[t]-1],t-p[t]+1);
	    while(now[t-p[t]]==now[t+p[t]]) lef[t+p[t]]=Min(lef[t+p[t]],t-p[t]),++p[t];
	    if(t+p[t]-1>r) mid=t,r=t+p[t]-1;
      }
      
      for(register int t=1,edd=now.size()-1;t<=edd;++t){
	    if(lef[t]>t||now[t]=='|') continue;
	    register auto t1=get_ha(lef[t],t);
	    if(S.find(t1)==S.end()) S.insert(t1);
      }
      
}

int main(){
      n=qr();
      for(register int t=0,edd=maxn<<1;t<edd;++t) sav1[t]=ksm(seed1,t,mod1),sav2[t]=ksm(seed2,t,mod2);
      for(register int t=1;t<=n;++t) find_pam(t);
      q=qr();
      for(register int t=1,t1,t2,t3=0;t<=q;++t,t3=0){
	    t1=ans^qr();t2=ans^qr();
	    if(t1>t2) swap(t1,t2);
	    register auto temp=make_pair(t1,t2);
	    if(que.find(temp)!=que.end())
		  printf("%d
",ans=que[temp]);
	    else {
		  if(s[t1].size()>s[t2].size()) swap(t1,t2);
		  for(register auto f:s[t1])
			if(s[t2].find(f)!=s[t2].end()) ++t3;
		  que.insert(make_pair(temp,ans=t3));
		  printf("%d
",ans);
	    }
      }
      return 0;
}