【题解】BZOJ5093图的价值(二项式+NTT)
今天才做这道题，是我太弱了
强烈吐槽c++这种垃圾语言tmd数组越界不re反倒去别的数组里搞事情我只想说QAQ
推了一张A4纸的式子
考虑每个点的度数，因为每个点虽然有标号但是是等价的，对于每个点，对于答案的贡献是(x)，答案输出(n imes x)就好了，所以答案是
[nsum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1choose i}2^{frac {n(n-1)} 2-(n-1)}
]
顺次解释：度数(^k),选择(i)个别的点去连接，剩下的边随便连
无关项提出来
[n2^{frac {n(n-1)} 2-(n-1)}sum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1choose i}
]
现在就是要求
[sum_{i=1}^{n-1} i^{k} {n-1choose i}
]
自然幂数和公式
[i^k=sum_{j=0}^{min{i,k}} {krace j}egin{pmatrix} i \jend{pmatrix}j!
]
套进去
[sum_{i=1}^{n-1} sum_{j=0}^{min{i,k}} {krace j}egin{pmatrix} i \jend{pmatrix}j! {n-1choose i}
]
先枚举(j)
[sum_{j=0}^{n-1}sum_{i=j}^{n-1}{krace j}j!{n-1choose i}{ichoose j}
]
整理
[sum_{j=0}^{n-1}{krace j}j!sum_{i=j}^{n-1}{n-1choose i}{ichoose j}
]
套一下公式(备胎模型)
[sum_{j=0}^{n-1}{krace j}j!sum_{i=j}^{n-1}{n-1-jchoose j}{n-1-jchoose i-j}
]
又可以提出来
[sum_{j=0}^{n-1}{krace j}{n-1-jchoose j}j!sum_{i=j}^{n-1}{n-1-jchoose i-j}
]
稍微改变一下形式
[sum_{j=0}^{n-1}{krace j}{n-1-jchoose j}j!sum_{c=i-j=0}^{c=i-jle n-1-j}{n-1-jchoose c}
]
二项式定理套
[sum_{j=0}^{n-1}{krace j}{n-1-jchoose j}j!2^{n-1-j}
]
我们晓得当(k > j)时式子的值(=0),所以枚举到(min {n-1,k})就好了。问题在于如何快速求那个斯特林数
斯特林数的容斥式
[{krace j}=dfrac 1{j!} sum_{i=0}^{j-1} (-1)^i{egin{pmatrix}j\iend{pmatrix}}(j-i)^{k}
]
拆拆又是一个NTT的式子，不赘述了，看上面那个链接博客里有
答案式子
[n2^{frac {n(n-1)} 2-(n-1)}sum_{j=0}^{n-1}{krace j}{n-1-jchoose j}j!2^{n-1-j}
]
指数上取膜，又是欧拉定理
写一下NTT就好了
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
namespace poly{
const int maxn=1<<19|1;
int a[maxn],b[maxn],r[maxn];
int savlen;
inline void getr(const int&len){
if(len==savlen)return;
int cnt=0;
for(register int t=1;t<len;t<<=1)++cnt;
for(register int t=1;t<len;++t)
r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
}
const int mod=998244353;
const int g=3;
inline int ksm(int base,int p){
register int ret=1;
for(base%=mod;p;p>>=1,base=1ll*base*base%mod)
if(p&1) ret=1ll*ret*base%mod;
return ret;
}
const int gi=ksm(3,mod-2);
inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
getr(len);
for(register int t=1;t<len;++t)
if(r[t]>t) swap(a[t],a[r[t]]);
int *a1,*a0,s=g;
if(tag!=1) s=gi;
for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
a1=(a0=a+i)+t;
for(register int j=0,w=1,tm;j<t;++j,++a1,++a0,w=1ll*w*wn%mod){
tm=1ll**a1*w%mod;
*a1=(*a0-tm)%mod;
*a0=(*a0+tm)%mod;
if(*a1<0)*a1+=mod;
}
}
}
if(tag!=1)
for(register int t=0,in=ksm(len,mod-2);t<len;++t)
a[t]=1ll*a[t]*in%mod;
}
}
using poly::mod;
using poly::NTT;
using poly::ksm;
const int maxn=2e5+5;
int jc[maxn],inv[maxn];
int t1[1<<19|1];
int s[1<<19|1];
int n,k,L,len;
int ret,ans;
inline void pre(){
jc[0]=inv[0]=1;
for(register int t=1;t<maxn;++t)
jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod;
inv[maxn-1]=ksm(jc[maxn-1],mod-2);
for(register int t=maxn-2;t;--t){
inv[t]=1ll*inv[t+1]*(t+1)%mod;
//if(t<15)cout<<"qaq="<<inv[t]<<endl;
if(inv[t]==0) return void(cout<<"t="<<t<<endl);
}
}
inline int c(const int&n,const int&m){
if(n<m)return 0;
return 1ll*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
pre();
n=qr();k=qr();
L=min(n-1,k);
len=1;
while(len<=L)len<<=1;
for(register int t=0;t<=L;++t){
s[t]=inv[t];
if(t&1) s[t]=mod-s[t];
t1[t]=1ll*inv[t]*ksm(t,k)%mod;
}
NTT(t1,len<<1,1);NTT(s,len<<1,1);
for(register int t=0;t<len<<1;++t) s[t]=1ll*s[t]*t1[t]%mod;
NTT(s,len<<1,-1);
for(register int t=k+1;t<len<<1;++t) s[t]=0;
int p=(1ll*n*(n-1ll)/2%(mod-1)-n+1+mod-1)%(mod-1);
ret=1ll*ksm(2,p)*(n%mod)%mod;
int w=1;
for(register int t=0;t<=L;++t){
ans=(ans+1ll*jc[t]*w%mod*ksm(2,n-1-t)%mod*s[t]%mod)%mod;
w=1ll*w*(n-1-t)%mod*inv[t+1]%mod*jc[t]%mod;
}
cout<<1ll*ret*ans%mod<<endl;
return 0;
}