【题解】歌唱王国(概率生成函数+KMP)+伦讲的求方差
生成函数的本质是什么呀！为什么和It-st一样神
设(f_i)表示填了(i)个时候停下来的概率，(g_i)是填了(i)个的时候不停下的来的概率，规定(f_0=g_0=1)
两个生成函数是
[G(x)=sum g(i)x^i
\
F(x)=sum f(i)x^i
]
可以得到一些关系：
-
在后面随意加上一个字符
[xG(x)+1=F(x)+G(x) ] -
直接强行接上原串：
[x^LG(x)(dfrac 1 {sigma})^L ]此时他一定会停止，但是停止的概率是多大呢？
可以发现，假如这个字符串没有BORDER(不存在前缀可以等于等长的后缀)，(F(x))和(G(x))是独立的，但是有BORDER的时候怎么办呢？
由于(f_i)代表在填出来的字符串第(i)位时停下的概率，所以此时填出来的字符串尾巴的情况是确定的，由于存在BORDER，我们就不用直接强行接上(L)那么长的串，可能到一半就填出来了，不难发现就是
[x^LG(x)(dfrac 1 {sigma})^L=sum [iin B](dfrac 1 {sigma})^{L-i}x^{L-i}F(x) ]
有了这些关系怎么办呢？我们知道，(E(X)=sum i imes P(X=i))
所以对(F(x))求导，指数都到系数里面来了，所以代入(x=1)就得到了(E(X))。
答案就是((F(1))')
我们之前有一些等量关系，所以
[F(x)'+G(x)'=(xG(x)+1'=xG(x)'+G(x)
]
所以
[F(1)'=G(1)
]
代入第二个式子
[G(1)=sum[i in B]sigma^iF(1)
]
显然有概率的规范性(F(1)=1)
所以答案就是
[G(1)=sum[i in B]sigma^i
]
用KMP求BORDER就是的
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return ret;
}
const int maxn=2e5+5;
const int mod=10000;
int data[maxn],p[maxn],fac[maxn];
int n,m;
inline int ksm(const int&base ,const int&p){
register int ret=1;
for(register int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=b*b%mod)
if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
return ret;
}
inline void getborder(){
memset(p,0,sizeof p);
for(register int t=2,k;t<=n;++t){
k=p[t-1];
while(k&&data[k+1]!=data[t]) k=p[k];
if(data[k+1]==data[t])++k;
p[t]=k;
}
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.in","r",stdin);
//freopen("out.out","w",stdout);
#endif
m=qr();
fac[0]=1;
for(register int t=1;t<=200000;++t) fac[t]=1ll*fac[t-1]*m%mod;
int T=qr();
while(T--){
n=qr();
for(register int t=1;t<=n;++t) data[t]=qr();
getborder();
int ans=0;
for(register int t=n;t;t=p[t])
ans=(ans+fac[t])%mod;
printf("%04d
",ans);
}
return 0;
}
如何算方差，咕咕咕先。