CodeForces 757B Bash's Big Day

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题意

给你n个数，删除最少的数，使得剩余的数的最大公约数大于原来n个数的最大公约数

题目分析

普通解法

先求出所有数的最大公约数g,然后判断所有的数是否完全相同，完全相同说明最大公约数就是自身，无法增大，即无解

然后枚举公约数i , 从g+1开始，直到最大的数a[n]，统计因子含有 i 的数的个数，那么公约数为 i 的数集的其中一个公约数就是i，

即其最大公约数 >= i > g，因此这些数组成的集合就是最大公约数大于g的数集

而我们需要找的是这样的数集中的最大者，因为这样可以删除最少的数得到

优化解法

因为所有的数的最大公约数为g，那么对所有的数除g，得到的新的数集的最大公约数就会是1

统计每个数i出现的次数num[i]，如果num[1] = n ，说明所有数相同，与上面一样，此时无解

然后我们在新的数集中枚举公约数 i ，统计因子含有i的数的个数，那么公约数为i的数集的一个公约数将会是i，

即其最大公约数一定 >= i > 1，在原数集中满足最大公约数 >= i > g，因此公约数为i的数集就是最大公约数大于g的数集

同理，我们需要找的是这样的数集中的最大者，因为这样可以删除最少的数得到

优化方法

注意到我们枚举公因数的时候，以x作为公约数的数集一定比以x*k(k = 2, 3,4...)作为公约数的数集大，为此我们只需要找到公约数为素数的数集中的最大者即可。

考虑到这个题数据最大值在 1.5e7，如果使用一般的素数筛，肯定会T，为此，我们需要使用线性筛来求素数。

代码区

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<cmath>
#include<fstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include <map>
#include <iomanip>
#define bug cout << "**********" << endl
#define show(x,y) "["<<x<<","<<y<<"]"
 //#define LOCAL = 1;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e8;
const int Max = 1.5e7 + 10;

int  n, a[300010], num[Max];    //num[i]表示 a/gcd 后的新数集中，值等于i的数的个数
int prime[Max], tot;            //记录素数和素数的个数
bool vis[Max];                    //记录是否是素数，用于线性筛

void getPrime()
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    tot = 0;
    for (int i = 2; i < Max;i++)
    {
        if (!vis[i])
            prime[++tot] = i;

        for (int j = 1;i * prime[j] < Max; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}


int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    getPrime();
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        int g = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", a + i);
            g = gcd(a[i], g);
        }
        for (int i = 1; i <= n;i++)
        {
            num[a[i] / g] ++;
        }
        if (num[1] == n)    //所有数相等，就是无解
        {
            printf("-1
");
            continue;
        }
        int ans = n - 1;                //记录最小删除个数
        for (int i = 1;i <= tot; i++)    //找到所有以prime[i]为因子的的数的个数，这些数的集合就是以prime[i]为公约数的数集
        {
            int sum = 0;                //记录这个数集的大小
            for (int k = 1; k * prime[i] < Max; k++)
            {
                sum += num[k*prime[i]];
            }
            ans = min(ans, n - sum);
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}