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  • Stirling数

    第一类

    有正负的,其绝对值是包含n个元素的集合分成k个非空环排列的方法数。

    S(p,k) 将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

    S(p,k)=(p-1)*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   ,1<=k<=p-1

    第p的物品单独一个排列,其余k-1个物品排列的方法数:S(p-1,k-1)

    前p-1个物品构成k个非空排列,第p个物品插入第i个物品左边: (p-1)*S(p-1,k)   

    初始条件: S(p,0)=0; S(p,p)=1;

      memset(stir,0,sizeof(stir));    
        stir[1][1]=1;
    for(i=2;i<N;i++) for(j=1;j<=i;j++) stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j];

      

    第二类

    S(p,k)的一个组合学解释是:将p个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号)集合的方法数。

    k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如:被标有房号)的房间(无空房)的方法数。

       

    S(p,k)的递推公式是:S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

    边界条件:S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1    s(p,1)=1

      memset(stir,0,sizeof(stir));  
        stir[0][0]=0;  
        stir[N][1]=1;  
    stir[N][N]=1; for(i=2;i<N;i++) for(j=1;j<=i;j++) stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+j*stir[i-1][j];

      

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