插值算法

样本点少于30个时，需要创造样本点，则用插值算法；样本点多于30个时，用拟合函数。

定义：

数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这是就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

插值有一个插值区间，在区间内给一个新的xi，由求出的函数得到对应的yi，目的就是求这个函数，然后求出(xi,yi)来扩充数据集。

插值法分类：

1.多项式插值（得到的是经过所有点的一个插值函数）

①一般多项式插值

②.拉格朗日插值法

③.牛顿插值法

多项式插值存在的问题：

龙格现象：当函数的次数过高时，xi加大一点对函数值的影响就会很大。

为了解决龙格现象，引入了分段插值。

2.分段插值（非得到一个插值函数，而是用很多分段插值函数求每个分段上的xi的函数值）

①埃尔米特插值：不仅函数值相等，而且一阶导数相等

 

②分段三次埃尔米特插值

③三次样条插值：二阶导数连续可微

对比：

n维插值问题：（同一维插值）

总结：

样本点很少的时候用插值算法（插值函数需经过所有的样本点），有大量样本点的时候用拟合算法（不一定经过每个样本点，只要满足一定的精度即可）。