zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 线性代数学习笔记——第二章(上)

    线性代数学习笔记——第二章(上)

    老样子,不放图,本打算一章一篇笔记,但是发现这一章的笔记是真的多,可能是我太菜的缘故,光这篇笔记就花了4个小时,还有:在Typora中^^是上角标,但是博客园有的LaTeX内联属性不支持,导致一些很奇怪的地方。

    矩阵概念

    • 零矩阵:元素都是0的矩阵(有形状),零矩阵不一定相等。
    • 负矩阵:所有元素取相反数,例如:A的负矩阵为-A。
    • 实矩阵:所有的元素都是实数的矩阵。
    • 复矩阵:所有的元素都是复数的矩阵。
    • 行矩阵:只有一行元素的矩阵。
    • 列矩阵:只有一列元素的矩阵。
    • 单位阵:主对角线上为1,其余元素全为0的方阵,记做:EI
    • 同型矩阵:行数和列数对应相等。
    • 行矩阵知识方阵的一个属性。
    • 矩阵相等:同型矩阵且值对应相等。
    • 不是方阵没有主对角线和次对角线。



    矩阵运算

    • 只有同型矩阵才能相加减:对应元素相加减。

      • 运算规律(均为同型矩阵):
        • A+B=B+A;
        • (A+B)+C = A+(B+C);
        • A+O = A;
        • A+(-A) = O;
        • A+B = C —> A = C-B;

    • 矩阵乘法:

      • 用k乘以矩阵,相当于k乘以矩阵的所有元素。

      • 矩阵相乘的规则:

        • 前提:左矩阵列数=右矩阵行数。
        • 结果矩阵:行数=左矩阵行数;列数=右矩阵列数。
        • 宋氏七字口诀:中间相等,取两头
        • 用第一个矩阵的第一行乘第二个矩阵的第一列,对应的元素相乘再相加,放置在第一行第一列。
        • 用第一个矩阵的第一行乘以第二个矩阵的第二列,对应的元素相乘再相加,放置在第一行第二列。
        • 同理……
      • 运算法则:

      • k(AB) = (kA)B+ A(kB);

        • (A+B)C = AC + BC;
        • (AB)C= A(BC);
        • AE=A;EA=A;这里的单位矩阵E的形状可能不同。
      • 不满足的规律:

        • 多数情况下:AB ( eq) BA;
        • AB=0 ( rightarrow) A=0 或者 B=0;
        • AB=AC,A ( eq) 0 ( rightarrow) B=C;
    • 一个矩阵可以交换,必要条件就是该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。



    • 矩阵运算的一些公式:

      • A0=E

      • (Ak1)k2=Ak1k2

      • Ak1*Ak2=A(k1+k2)

      • (AB)k

      • 一般情况下:(AB)k( eq)AkBk

        • eg: (AB)2=ABAB;A2B2=AABB;
      • 但是:(A(pm)E)2=A2 (pm) 2AE+E2


    • 矩阵转置:AT
      • (AT)T=A
      • (A+B)T=AT+BT
      • (kA)T=kAT
      • (AB)T=BTAT (这里注意顺序须要颠倒)



    特殊矩阵

    • 数量矩阵:主对角线元素全部相等,其余元素为零。

    • 对角线矩阵:主对角线上有值,其余为零。对角型矩阵可以以diag(……)的方式来写。

    • 三角矩阵:上三角矩阵、下三角矩阵。

    • 对称矩阵:主对角线为轴,上下元素对应相等的矩阵。

      • 所有的对称矩阵基本会用到AT=A的公式。

      • A、B对称,A、B可交换

        • eg:(AB)T=AB

        • 充分性:(AB)T= BTAT=BA=AB

        • 必要性:A和B可以交换,所以AB=BA,所以(AB)T=AB,所以AB是对称矩阵。

          • eg:(AAT)T=(AT)TAT=AAT,所以AAT是对称矩阵。
    • 反对称矩阵:主对角线元素全部为零,上下元素对应成相反数的矩阵。

      • eg:aij =-aji,对于主对角线上的元素,移项,(Rightarrow) aii =0;
      • AT= - A.
    • 对于(反)对称矩阵,两个同阶(反)对称矩阵的和、差和数乘仍然是(反)对称矩阵,但是两个(反)对称矩阵的乘积一般不再是(反)对称矩阵




    逆矩阵

    • 不要把矩阵放到分母的位置

    • 方阵的行列式:

      • 方阵A的行列式为:|A|。

      • 行列式为一个数,矩阵为一个数表,因此,方阵的行列式仅仅为方阵的一个属性。

      • 性质:

        • |AT| = |A|

        • |kA| = kn|A|

        • |AB| = |A||B|,AB为同阶

        • 例题:A为5阶方阵,|A| = 3,求|-A|、||||A|A|A|A|。

          1)、|-A|=(-1)5|A|=-3。

          2)、||||A|A|A|A|=|||3A|A|A| = ||36A|A| = |(36)5|A|A| = |(331)A| = 3155|A|=3156


    • 伴随矩阵:

      • 只有方阵才有伴随矩阵A*,同时任何方阵都有伴随矩阵,如果只有一个元素的矩阵,那么他的伴随矩阵为E或者[1]。
      • 伴随矩阵是所有元素的代数余子式按列放构成的矩阵。
      • 口诀:按行求,按列放。


    • 逆矩阵的定义:

      • 设A是一个n阶方阵,如果存在同阶方阵B,使得AB=BA=E,那么B就叫A的逆矩阵,记作:A-1=B。(切记不可写成(frac{1}{A}))。
      • 未必所有方阵都可逆,比如零矩阵。
      • 可逆矩阵的方阵的逆矩阵唯一。
      • AA-1=A-1A=E。

    • 方阵可逆的条件:

      • 若方阵A的行列式∣A∣≠0,该方阵叫做非奇异(非退化、满秩)矩阵;反之,若方阵A的行列式∣A∣=0,该方阵叫做奇异(退化、降秩)矩阵。

      • 矩阵A可逆的充分必要条件为:∣A∣≠0。

      • A-1=(frac{1}{|A|})A*(前提是上一步成立)。

      • 若A、B都为n阶方阵,∣A∣≠0且AB=E或者BA=E,则A可逆,并且A-1=B。

    • 求逆矩阵常用初等变换法,很少使用伴随矩阵法。

    • 矩阵方程:

      • 注意提取公因子的方向;
      • 矩阵不能加减一个数,需要补上单位矩阵E;
      • 永远不要把矩阵放在分母上;
      • 一定先判断行列式不等于零,矩阵才可逆,再求逆矩阵;
      • 求逆矩阵时,待定法(假设法)过于复杂,不建议使用;

    • 逆矩阵的性质;

      • 若A可逆,则A-1可逆,且(A-1)-1=A;

      • A、B都可逆,则AB可逆,(AB)-1=B-1A-1;

      • A可逆,因此:AT也可逆,并且(A-1)T=(AT)-1;若k ( eq) 0,(kA)-1=(frac{1}{k})A-1;

      • |A-1|=|A|-1;

      • A可逆时,A*也可逆,并且(A*)-1=(frac{1}{|A|})A;

    • 伴随矩阵的常用公式:

      • A*A=AA*=|A|E。
      • |A*|=|A|n-1
      • 因为A−1=(frac{1}{∣A∣})A,所以∣A∣A−1=A,即A=∣A∣A−1
      • (A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(frac{1}{|A|})A=|A|n-2A;
      • ((A*)*)*=|A*|n-2A*=(|A|n-1)n-2|A|A-1=|A|n*n-3n+3A-1;
    本是青灯不归客, 却因浊酒留风尘
  • 相关阅读:
    第二十九课 循环链表的实现
    第二十八课 再论智能指针(下)
    第二十七课 再论智能指针(上)
    第二十六课 典型问题分析(Bugfix)
    普通new和placement new的重载
    leetcode 581. Shortest Unsorted Continuous Subarray
    leetcode 605. Can Place Flowers
    leetcode 219. Contains Duplicate II
    leetcode 283. Move Zeroes
    leetcode 217. Contains Duplicate
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wit-panda/p/13377159.html
Copyright © 2011-2022 走看看