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  • 线性代数学习笔记——第五章(下)

    线性代数学习笔记——第五章(下)

    还剩短暂的一章,本打算今天将线性代数结束,然而玩了一下午的游戏,又看了三个小时的LPL。哎,太难了! 这篇笔记的部分思路来自于CSDN的小刀博主。

    相似矩阵和矩阵可对角化的条件

    • tr(A):迹,主对角线元素之和。

    • 相似矩阵:

      • 若A、B为n阶方阵,存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP = B,则A与B相似,A~B。
      • 反身性:A~A
      • 对称性:A~B (Longleftrightarrow) B~A
      • 传递性:A~B B~C (Longrightarrow) A~C
    • 相似矩阵的性质:

      • 如果A~B,则A、B有:
        • 相同的特征值。
        • |A| = |B|
        • tr(A) = tr(B)
        • 均可逆或者均不可逆
        • 均可逆的情况下:A-1 ~ B-1
        • Am ~Bm
        • r(A) = r(B)
    • 定理:A相似于对角型矩阵 (Longleftrightarrow) A有n个线性无关的特征向量。

      • 若P为特征向量的列组合(α1, α2, α3),则P-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3)

      • 若A有n个互异的特征根,则A~ (igwedge)

    • 定理:A~ (igwedge) (Longleftrightarrow) 对每个ri 重特征根,基础解系有ri个解。




      实对称矩阵的对角化

    • 所有实对称矩阵都能对角化。

    • 内积:

      • 内积:两个向量相乘再相加得到的数。
      • α和α的内积(α,α) (geq) 0
      • (α,α) = 0 (Longleftrightarrow) α = 0
      • (α,β) = (β,α)
      • (kα,β) = k(α,β) = (α,kβ)
      • (α+β,γ) = (α,γ)+(β,γ)
    • 向量的长度(范数、模):

      • 范数:||α|| = (sqrt{(α,α)})
      • 单位向量:模为一。
      • 单位化(标准化):(frac{α}{||α||})
    • 模的性质:

      • ||α|| (geq) 0,||α|| = 0 (Longleftrightarrow) α = 0
      • ||kα|| = |k|*||α||
    • 柯西-施瓦茨不等式:|(α,β)| (leq) ||α||*||β||

    • 三角不等式:||α + β|| (leq) ||α||+||β||

    • 正交垂直:

      • (α,β) = 0,α (perp) β。
      • (0,α) = 0。
      • 正交向量组:组中向量两两正交,且线性无关,不含零向量。
      • 标准正交向量组:是正交向量组,且组内都是单位向量。
    • 施密特正交化

    • 正交矩阵:

      • 定义:A是n阶方阵,AAT = E
      • 若A正交矩阵,则|A| = (pm) 1
      • 若A是正交矩阵,则A-1 = AT ,且A-1和AT 都正交。
      • 若A和B都是正交矩阵,那么AB也正交。
      • 若α、β是n维列向量,那么(Aα,Aβ) = (α,β)。
      • A正交 (Longleftrightarrow) A的行(列)向量组是标准正交向量组。
    • 若A、B是同阶方阵,存在正交矩阵P,是的P-1AP = B,这A和B正交相似。

    • 若A实对称,一定存在正交矩阵P,使P-1AP = (Lambda) = diag(λ1, λ2, ……λn)

      • n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量。
    • 实对称A的不同特征值的特征向量正交。

    • 实对称矩阵的解题步骤:

      • 求特征值
      • 求特征向量
      • 特征向量正交化、单位化
      • 特征向量做成列构成P
      • 特征值与特征向量顺序对应。
    本是青灯不归客, 却因浊酒留风尘
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