Codeforces 506C. Mr. Kitayuta vs. Bamboos 题解

题目链接：C. Mr. Kitayuta vs. Bamboos
题目大意：你的庄园里用(n)棵竹子，每棵竹子有一个初始高度(h_i)，每天会往上张(a_i)，你非常不喜欢这些竹子长得很高，所以你要使用魔法将这些竹子给削下来，你会在竹园中待(m)天，每天你会施展(k)次魔法，每一次魔法可以让一棵竹子的高度变为(max(0,h-p))（(h)为当前这棵竹子的高度），你想知道在(m)天后竹园中竹子最高高度最小是多少。

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题解：一看到最高高度最小，直接想到二分答案，那么关键就是 check 函数怎么写了，很容易可以想到一个很假的贪心思路，就是把每棵竹子用最小的次数给削下来，但是这里就出问题了，因为你不能把竹子给打到地底下，这就会导致你在打每一棵竹子时会有一个时间限制，这样一个限制下来，似乎就没法做了（当然，官方题解也提供了一种这样走下去的思路，可是我没看懂，果然还是太菜了嘤嘤嘤）。

“正难则反”，所以考虑对问题进行转化。令二分的答案为(x)，我们把每一棵竹子最终的高度都定为(x)（因为它不可能超过(x)），那么从第(m)天开始到第一天为止，竹子每天就不是往天上长，而是往地下钻，而每一次魔法操作则是把竹子给拉上来，可以这样理解，假设我们已经知道了所有的操作并且把它们做成了视频，然后倒着播放，那么限制条件就变为了：

• 每一棵竹子在每个时刻的高度都不能小于(0)（因为竹子最低高度就是(0)）
• 第(i)棵竹子在操作完之后的高度不能小于(h_i)（如果大于的话可以从最终高度上减，容易发现这是没有问题的）

然后这就方便了，可以直接用堆维护将要掉到(0)以下的最小天数，然后贪心地做就可以了。

时间复杂度：(O((n+mk) ext{log}n ext{log}(h_{max}+a_{max}m)))，可以粗略的认为是(O(n ext{log}^2 n))。

代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
void read(int &a){
	a=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		a=(a<<1)+(a<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
}
const int Maxn=100000;
typedef long long ll;
int n,m,k,p;
struct Bamboo{
	int h,a;
}a[Maxn+5];
struct Node{
	ll day;
	int id;
	friend bool operator <(Node p,Node q){
		if(p.day==q.day){
			return p.id<q.id;
		}
		return p.day<q.day;
	}
	friend bool operator >(Node p,Node q){
		if(p.day==q.day){
			return p.id>q.id;
		}
		return p.day>q.day;
	}
	Node(ll _day=0,int _id=0){
		day=_day;
		id=_id;
	}
};
priority_queue<Node,vector<Node>,greater<Node> > q;
int tim[Maxn+5];
bool check(ll x){
	while(!q.empty()){
		q.pop();
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(x-1ll*a[i].a*m<a[i].h){
			q.push(Node(x/a[i].a,i));
			tim[i]=0;
		}
	}
	for(int i=1;!q.empty()&&i<=m;i++){
		for(int j=1;!q.empty()&&j<=k;j++){
			Node u=q.top();
			q.pop();
			if(u.day<i){
				return 0;
			}
			tim[u.id]++;
			if(x+1ll*tim[u.id]*p-1ll*a[u.id].a*m<a[u.id].h){
				q.push(Node((x+1ll*tim[u.id]*p)/a[u.id].a,u.id));
			}
		}
	}
	return q.empty();
}
int main(){
	read(n),read(m),read(k),read(p);
	ll left=0,right=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(a[i].h);
		read(a[i].a);
		right=max(right,a[i].h+1ll*m*a[i].a);
	}
	while(left<right){
		ll mid=(left+right)>>1;
		if(check(mid)){
			right=mid;
		}
		else{
			left=mid+1;
		}
	}
	cout<<left<<endl;
	return 0;
}