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  • Dijkstra 算法

    算法的核心思想:在尚未使用的顶点中,d[i]最小的顶点就是最短距离已经确定的顶点

    解释:以图1-1为例,假设A,B,C已经被标记,则剩下的点可以认为经过A,B,C三点的松弛操作(看通过这个点作为中转站会不会使得其他点离起点更近)。

    那么在被标记的顶点中,找出d[i]最小的顶点,就可以认为它就是最短距离已经确定的顶点。我们用反证法,假如它的值不是最短距离,那么你想A,B,C三点已经都对其余剩下所有的点进行了松弛操作,那么现在就不能再使其他点到起点的距离变得更短;那么就只能想办法通过其他点让它到起点的距离变短,然而由于不存在负边,不可能通过其他的点让它到起点的距离变得更短(不会在之后的更新中变小)。因此,就可以认为它就是最短距离已经确定的顶点。

    自然而然我们就发现Dijkstra 算法不适合处理有负边的情况

     模板如下:

    int cost[MAX_N][MAX_N]; //cost[u][v]表示边e(u,v)的权值(不存在时设为INF) 
    int d[MAX_N]; //图上各点到顶点s的最短距离 
    int vis[MAX_N]; //已经使用过的图
    int n; //顶点数 
    
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
        
    while (1) {
        int v = -1;
        //从尚未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点 
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (vis[i]==0 && (v==-1||d[i]<d[v])) v = i;
            
        if (v==-1) break;
        vis[v] = 1;
            
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            d[i] = min(d[i], d[v]+cost[v][i]);//对周围的点进行松弛操作 
    }

    仔细想想,其实我们还能进一步优化这个算法,需要优化的是数值的插入(更新)和取出最小值两个操作,因此使用就可以了。

    优化后的模板入下:

    struct edge {int to, cost};
    typedef pair<int , int> P;
    
    int V;
    vector<edge> G[MAX_V];
    int d[MAX_V];
    
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> >que;
    fill(d, d+V, INF);
    d[s] = 0;
    que.push(P(0, s));
    
    while (!que.empty()) {
        P p = que.top(); que.pop();
        int v = p.second;
        if (d[v]<p.first) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            edge e = G[v][i];
            if(d[e.to]>d[v]+e.cost) {
                d[e.to] = d[v]+e.cost;
                que.push(P(d[e.to, e.to]));
            }
        }
    }
     
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wizarderror/p/10902223.html
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