Floyd—Warshall算法

我们用DP来求解任意两点间的最短路问题

首先定义状态：d[k][i][k]表示使用顶点1~k，i，j的情况下，i到j的最短路径

（d[0][i][j]表示只使用i和j，因此d[0][i][j] = cost[i][j]）

状态转移方程：d[k][i][j] = min ( d[k-1][i][k], d[k-1][k][j] )

解释：我们分i到j的最短路正好经过顶点k一次和完全不经过k两种情况来讨论。

这个DP也可以使用滚动数组来进行递推：d[i][j] = min ( d[i][j], d[i][k]+d[k][j] )，为什么可以这样呢？

我参考了《算法竞赛入门经典》中对背包问题的滚动数组后大概就懂了，在计算d[k][i][j]之前，d[i][j]保存的是d[k-1][i][k]，另外一个也是同样的道理

模板如下：

int d[MAX_V][MAX_V];//d[u][v]初始化时表示边e(u,v)的权值(不存在时设为INF，d[i][i]=0) 
int V;//顶点数
 
for (int k = 1; k <= V; k++)
    for (int i = 1; i <= V; i++)
        for (int j = 1; j <= V; j++)
            d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j]);

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附：

滚动数组可处理的问题多表现为多步的数据递推，而且每一步递推只会用到上一次递推的数据，此时就记得要用滚动数组优化空间。

由于每一步的递推只会用到上一步的数据，其常见的长度为2。

可参考这篇博客：滚动数组