[HAOI2011]向量

题目

k(a,b)+q(b,a)+w(a,−b)+c(b,−a)=(x,y)

(k+w)a+(q+c)b=x

(k−w)b+(q−c)a=y

裴蜀定理：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

可得a×x+b×y=c

x和y有整数解条件是 gcd(a,b)|c

证明：令a=p×gcd(a,b)，b=q×gcd(a,b)

原式=(p∗x+q∗y)∗gcd(a,b)

　　=c

因为gcd(a,b)为整数，要使x和y为整数，gcd(a,b)|c。

(k+w)a+(q+c)b=x

(k−w)b+(q−c)a=y

(k+w),(q+c),(k-w),(q-c)均为整数的条件是gcd(a,b)|x且gcd(a,b)|y

但(k+w),(k-w)有整数解不一定k和w有整数解 q+c和q-c是同理的

设(k+w)=f,(k−w)=g则

k=(f+g)/2,w=(f−g)/2

 

因为2|(f+g)且2|(f−g)要使k和w均为整数则f和g均为偶数或奇数。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long T,a,b,x,y,k;
inline bool pd(long long x,long long y){
    if (x%k==0&&y%k==0)
        return true;
    else 
        return false;
}
int main(){
    scanf("%lld",&T);
    while (T--){
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y);
        k=__gcd(a,b)*2;
        if (pd(x,y)||pd(x+a,y+b)||pd(x+b,y+a)||pd(x+a+b,y+a+b))
            printf("Y
");
        else 
            printf("N
");
        //printf("%d",k);
    }
    return 0;
}