推导过程存在漏洞+exCRT板子没打熟于是期望得分÷实际得分=∞？
题目描述
小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：
游戏的目标是按照编号 (1sim n) 顺序杀掉 (n) 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 (a_i)。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 (p_i)，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值恰好为 (0) 时它才会死去。
游戏开始时玩家拥有 (m) 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。
小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：
- 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择攻击力最低的一把剑作为武器。
- 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 (x) 次，使巨龙的生命值减少 (x imes ATK)。
- 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 (p_i) 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 (0)，则巨龙死亡，玩家通过本关。
那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 (x) 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？
当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出
-1即可。输入格式
从文件
dragon.in中读入数据。第一行一个整数 (T)，代表数据组数。
接下来 (T) 组数据，每组数据包含 (5) 行。
- 每组数据的第一行包含两个整数，(n) 和 (m)，代表巨龙的数量和初始剑的数量；
- 接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示第 (i) 条巨龙的初始生命值 (a_i)；
- 接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示第 (i) 条巨龙的恢复能力 (p_i)；
- 接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示杀死第 (i) 条巨龙后奖励的剑的攻击力；
- 接下来一行包含 (m) 个正整数，表示初始拥有的 (m) 把剑的攻击力。
输出格式
输出到文件
dragon.out中。一共 (T) 行。
第 (i) 行一个整数，表示对于第 (i) 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 (x)，如果答案不存在，输出
-1。样例输入
2 3 3 3 5 7 4 6 10 7 3 9 1 9 1000 3 2 3 5 6 4 8 7 1 1 1 1 1样例输出
59 -1样例解释
第一组数据：
- 开始时拥有的剑的攻击力为 ({1,9,10})，第 (1) 条龙生命值为 (3)，故选择攻击力为 (1)的剑，攻击 (59) 次，造成 (59) 点伤害，此时龙的生命值为 (-56)，恢复 (14) 次后生命值恰好为 (0)，死亡。
- 攻击力为 (1) 的剑消失，拾取一把攻击力为 (7) 的剑，此时拥有的剑的攻击力为 ({7,9,10})，第 (2) 条龙生命值为 (5)，故选择攻击力为 (7) 的剑，攻击 (59) 次，造成 (413) 点伤害，此时龙的生命值为 (-408)，恢复 (68) 次后生命值恰好为 (0)，死亡。
- 此时拥有的剑的攻击力为 ({3,9,10})，第 (3) 条龙生命值为 (7)，故选择攻击力为 (3) 的剑，攻击 (59) 次，造成 (177) 点伤害，此时龙的生命值为 (-170)，恢复 (17) 次后生命值恰好为 (0)，死亡。
- 没有比 (59) 次更少的通关方法，故答案为 (59)。
第二组数据：
- 不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出
-1。子任务
测试点编号 $n$ $m$ $p_i$ $a_i$ 攻击力 其他限制 $1$ $le 10^5$ $=1$ $=1$ $le 10^5$ $=1$ 无 $2$ $3$ $le 10^5$ $4$ $5$ $le 10^3$ $le 10^3$ $le 10^5$ 特性 $1$、
特性 $2$
$6$ $7$ $8$ $=1$ $=1$ $le 10^8$ $le 10^8$ $le 10^6$ 特性 $1$ $9$ $10$ $11$ $12$ $13$ $14$ $=10^5$ $=10^5$ $=1$ 无特殊限制 $15$ $16$ $le 10^5$ $le 10^5$ 所有 $p_i$ 是质数
$le 10^{12}$ 特性 $1$ $17$ $18$ 无特殊限制 $19$ $20$ 特性 (1) 是指：对于任意的 (i)，(a_ile p_i)。
特性 (2) 是指：(LCM(p_i)le 10^6) 即所有 (p_i) 的最小公倍数不大于 (10^6)。
对于所有的测试点，(Tle 5)，所有武器的攻击力 (le 10^6)，所有 (p_i) 的最小公倍数(le 10^{12})。
提示
你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。
题解：
整道题使用 exCRT 就能弄过去。
首先我们考虑每一轮用哪把剑砍龙。由于龙的顺序是固定的，所以每次剩下的剑的集合是固定的。但是每一轮都有剑在动态变化，因此我们用一棵平衡树来维护每次需要用的剑。
此时我们可以预处理砍每条龙用的是哪把剑，令砍第 (i) 条龙用的剑攻击力为 (c_i)。
那么对于每把剑和相应的龙都应该存在一个 (tinmathbb N) ，使得
把它转化为同余方程的形式即为
同时，我们要保证 (x) 取最小非负整数解时有意义，因此我们先用上面算出来的 (c_i) 分别求出每头龙至少需要砍多少下才会死，然后我们“提前”砍掉那么多。
即设变量 (xmn) 表示最少要砍的刀数
那么对于所有的 (a_i) 都要减去一个 (xmn imes c_i)。
减过之后，对于所有的龙，我们把方程组列出来，有
变成了一个 CRT 的形式，由于 (p_i) 没有保证互质，所以我们使用 exCRT。
但是还有一点，我们用 CRT 解决问题时，左侧的 (x) 是没有系数的，我们要考虑怎么样把这边的系数化掉。
如果用逆元，两边同除 (c_i)，那么只在 (p_i) 保证为质数的意义下才能成立，否则逆元无解导致题目答案错误。
我们可以用不定方程来推不定方程，因为 (c_ixequiv a_i) 有一系列解，而且和 (x) 成线性关系，我们直接从这边转化过来就可以了。
这里只有 (x) 和 (t) 是变量，因此只需要把 (x) 的特解和通解求出来，再构造一个形如 (xequiv b_ipmod{d_i}) 的方程就可以了。
对不定方程 (c_ix+p_it=gcd(c_i,p_i)) 求解，得到 (x=x_0)。等式两边同乘 (frac{a_i}{gcd(c_i,p_i)})，(x=frac{x_0a_i}{gcd(c_i,p_i)})。那么 (Delta x=frac {p_i}{gcd(c_i,p_i)})。
由此构造出了新方程
原方程组就变成了
(b_i,d_i) 由上式计算。
然后套上 exCRT ，最后加上一开始算的 (latex xmn) 即可。
本来多简单一个题被我公式来公式去整这么复杂。
Code：
(平衡树(BST:: 部分)版面较大，multimap 可过)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define ll long long
namespace BST
{
int ls[200100],rs[200100],key[200100],rdm[200100],sz[200100],pcnt=0,root=0;
int Newnode(int x)
{
++pcnt;
key[pcnt]=x;
rdm[pcnt]=rand();
ls[pcnt]=rs[pcnt]=0;
sz[pcnt]=1;
return pcnt;
}
void maintain(int rt)
{
sz[rt]=sz[ls[rt]]+sz[rs[rt]]+1;
}
int Merge(int a,int b)
{
if(!a||!b)
return a|b;
if(rdm[a]<rdm[b])
{
rs[a]=Merge(rs[a],b);
maintain(a);
return a;
}
ls[b]=Merge(a,ls[b]);
maintain(b);
return b;
}
void split(int rt,ll x,int &a,int &b)
{
if(!rt)
{
a=b=0;
return;
}
if(key[rt]<=x)//不高于
{
a=rt;
split(rs[a],x,rs[a],b);
}
else
{
b=rt;
split(ls[b],x,a,ls[b]);
}
maintain(rt);
}
void Insert(int x)
{
int a,b;
split(root,x,a,b);
root=Merge(Merge(a,Newnode(x)),b);
}
void Delete(int x)
{
int a,b,c;
split(root,x-1,a,b);
split(b,x,b,c);
b=Merge(ls[b],rs[b]);
root=Merge(Merge(a,b),c);
}
int getMin(int rt)
{
if(ls[rt])
return getMin(ls[rt]);
return key[rt];
}
int getMax(int rt)
{
if(rs[rt])
return getMax(rs[rt]);
return key[rt];
}
int getsword(ll x)
{
int a,b,ans;
split(root,x,a,b);
if(!sz[a])
ans=getMin(b);
else
ans=getMax(a);
root=Merge(a,b);
return ans;
}
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll g=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return g;
}
ll qmul(ll x,ll y,ll p)
{
ll ans=0,f=1;
if(x<0)
{
x=-x;
f=-f;
}
if(y<0)
{
y=-y;
f=-f;
}
while(y)
{
if(y&1)
ans=(ans+x)%p;
x=(x+x)%p;
y>>=1;
}
return ans*f;
}
ll k[100100],a[100100],b[100100],c[100100];//k 指系数
//c 是奖励的
int main()
{
freopen("dragon.in","r",stdin);
freopen("dragon.out","w",stdout);
int T,n,m;
ll x,y;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
BST::pcnt=BST::root=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",&b[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",&c[i]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%lld",&x);
BST::Insert(x);
}
ll xmn=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
ll f=BST::getsword(a[i]);
BST::Delete(f);
BST::Insert(c[i]);
c[i]=f;
xmn=xmn>ceil((double)a[i]/f)?xmn:ceil((double)a[i]/f);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
a[i]-=c[i]*xmn;
bool flag=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
//c[i]*x=a[i](mod b[i])
ll g=exgcd(c[i],b[i],x,y);
if(a[i]%g)
{
puts("-1");
flag=1;
break;
}
ll t=b[i]/g;
//特解 x
x=(x%t+t)%t;
x=qmul(x,a[i]/g,t);
a[i]=x;
b[i]/=g;//公差
if(i==1)
continue;
g=exgcd(b[i],b[i-1],x,y);
if((a[i]-a[i-1])%g)
{
puts("-1");
flag=1;
break;
}
t=b[i-1]/g;
x=(x%t+t)%t;
x=qmul(x,(a[i]-a[i-1])/g,t);
a[i]-=qmul(b[i],x,b[i]/g*b[i-1]);
b[i]=b[i]/g*b[i-1];
a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
}
if(!flag)
printf("%lld
",xmn+((a[n]%b[n])+b[n])%b[n]);
}
return 0;
}